解析几何中的面积，共线，向量结合的问题
（一）选择题（12*5=60分）
1．【河北省廊坊市2024届模拟】若过抛物线y?12，则x焦点的直线与抛物线交于A、B两点（不重合）
4OA?OB (O为坐标原点）的值是（ ）
A.
33 B. ? C. 3 D. ?3 44【答案】D
2．【福建省厦门市2024届期末】?ABC中，?B?2?，A,B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，3若BA?BC?AC?0，则E的离心率为（ ）
??A. 5?1 B. 3?1 C. 【答案】D
3?13?1 D. 22【解析】由题意得，点C在双曲线的右支上．设AC的中点为D，由BA?BC?AC?0得BD?AC， 所以BA?BC?2c，由双曲线的定义得CA?CB?2a?2c?2a．在?ABD中，
??BD?AD,?ABD??3，∴sin?3?ADAB?3a?cc3?1a?c?，即，整理得e??．选D． 22ca22cx2y23．【河南省安阳市2024届第一次模拟】已知F1,F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为
ab椭圆上一点，且PF1?OF1?OP?0（O为坐标原点），若PF1???2PF2，则椭圆的离心率为（）
A. 6?3 B. 【答案】A
6?36?5 C. 6?5 D. 22【解析】以OF1,OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF1?OF1?OP?0知此
???F1PF2是直角三角形，即平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴OP?OF1，∴
PF1?PF2，设PF2?x，则
，∴e?c3??6?3，故选A． a2?1x2y2??1的左焦点为F，直线x?a与椭圆相交于点M，N，4．【黑龙江省牡丹江市2024届期末】椭圆54当FMN的周长最大时，FMN的面积是（ ） A.
8565455 B. C. D. 5555【答案】A
5．【百校联盟2024届一月联考】根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为36
2
万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点F1,F2构成的三角形PF1F2面积约为4803 (万千米)，
?F1PF2??3，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2?1 C. 2??1 D. 2??1 A. 2?2?1 B. 2?36143840?364848?364836?24【答案】B
x2y2【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为2?2?1(a?b?0)．由椭圆的定义和余弦定理可得焦
ab点三角形的面积S?btan2?6?32b?4803，解得b2?40?36．由于地球的近地点为36，所以3a?c?36．∵b2?a2?c2??a?c??a?c??40?36，∴a?c?40，∴a?38．故所求的标准方程为
x2y2??1．选B． 38240?366．【北京市朝阳区2024届期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k（k?0且k?1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A,B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当P,A,B不共线时，?PAB面积的最大值是
A. 22 B. 2 C. 【答案】A
222 D. 33
27．【湖南省长沙市2024届模拟卷一】已知抛物线C:y?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在
抛物线C上，且AK?2AF，则AFK的面积为（）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C
E?AF【解析】过A作准线x??2的垂线，垂足为E，则A2?AK2，则在Rt?AEK，有?AKE?45?，
从?AKF?45?.在?AKF中，
AFAK2AF??，从而sin?AFK?1，又
sin?AKFsin?AFKsin?AFK?AFK??0,??，从而?AFK??2，故AF?p?4，S?AFK?1?4?4?8，选C. 2
x2y28．【江西省K12联盟2024届质检】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，存
ab在过原点的直线交双曲线左右两支分别于A、B两点，满足F2A?F2B?0且FA2?F2B?a，则该双曲线的离心率是（） A.
2663 B. C. 3 D. 232【答案】B
x2y2 9．【江西省2024届1月联考】已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2，左右焦点分别为
abF1，F2，点A在双曲线C上，若?AF1F2的周长为10a，则?AF1F2的面积为（ ）
22A. 215a B. 15a C. 30a2 D. 15a2
【答案】B
【解析】点A在双曲线C上，不妨设点A在双曲线C右支上，所以AF1F2的周长1?AF2?2a，又?AF为AFa.得AF1?AF2?10?a?2c.解得1?AF2?F1F2?AF1?AF2?2c?10?AF1?6a?c,AF2?4a?c.双曲线C的离心率为2，所以
c?2，得c?2a.所以AF1?2c,AF2?c. a所以AF1F2为等腰三角形.边AF2上的高为1?F1F2，所以?AFc215c?AF2?22. (F1F2)???4c???242???AF1F2的面积为
21AF2215c1?c2215c152?c?15a2.故选B. 24210. 【吉林省普通中学2024届第二次调研联考】 已知F为抛物线y?x的焦点，点A,B在该抛物线上且
·?6（O为坐标原点）位于x轴的两侧，而且OAOB，若?ABO与?AFO的面积分别为S1和S2，则S1?4S2最小值是 A.
7313 B. 6 C. D. 43 22【答案】B
2 11．【河南省郑州市2024届第一次质检】设抛物线y?4x的焦点为F，过点M?5,0的直线与抛物线
SSBCFACF?相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF?3，则BCF与ACF的面积之比?（ ）
A.
3456 B. C. D. 4567【答案】D
22【解析】画出抛物线y?4x的图象如图所示．由抛物线方程y?4x，得焦点F的坐标为(1,0)，准线方
程为x=?1．过点A,B作准线的垂线，垂足分别为E,N．由{y?kx?5y2?4x?? 消去y整理得
高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积共线向量结合的问题测试卷文
