S1和S2上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知ex?ey?0，即合力作
用点通过坐标原点。
4-5 如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v0=30m/s，水柱的体积流量Q=294m/s，分流量Q1=118 m/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角?。设液体
3
3
的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。 答：（1）由伯努利方程可知v1?v2?v0；
（2）设流束宽度分别为b0，b1和b2，则有b0?Q/v0，b1?Q1/v1?Q1/v0；又由连续方程可知：
Q2?Q-Q1
因此：
b2??Q-Q1?/v2??Q-Q1?/v0；
（3）应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角： ①求偏转角度?：
在y方向，平板对流体的作用力Fy?0，即：
0??v1??v1?b1??v2?v2sin??b2；
整理得到：
2??v12b1??v2sin?b2?0
将v1?v2?v0代入，可以得到：
sin??Q1/v0b1Q1118????0.67， b2?Q?Q1?/v0Q?Q1294?118?即：??41.8。
②求x方向作用力分量Fx：
由动量定理得到：
?Fx????v0?v0b0??v2?v2cos??b2
整理得到：
?QQ?Q1?2??b0?b2cos????v02?Fx??v0?cos???v0?Q??Q?Q1?cos???v?v0 ?0??103?30?294??294?118?cos41.8??4.88?106(N)??4-6 图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h1，水箱2中的水位高度为h2，两孔口中心重合，而且直径d1=d2/2。若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当已知h1和水的密度?时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h2最大值。 答 ：（1）求水箱1出口处速度V1：
在水箱1的自由液面上选取A点，在出口截面上选取B点； A点：pA?p0，VA?0，hA?h1， 其中p0为大气压力； B点：pB?p0，VB?V1??，hB?0。 由过A、B两点的伯努利方程：
12pA1pVA??ghA?VB2?B?ghB 2?2?得到：
1p1p?0?0?gh1?V12?0?g?0； 2?2?因此：
V12?2gh1，V1?2gh1；
（2）求水流对封板的作用力P：
由动量定理，沿垂直于封板的方向：
11112P?0?(?vB)?vB?d12???d12vB???d12?2gh1???gh1d12；
4442（3）求水箱2的最大高度hmax：
在封板右侧，水箱2形心处的静压力为p??ghmax，因此封板受到水箱2的静水压力：
1212。 P??p??d2???ghmaxd244当封板左右两侧压力相同时，即P?P?时：
112 ??gh1d12???ghmaxd224注意到d1?1d2，整理可得： 211hmax?h1。即水箱2 液面最大高度为h1。
224-7 工程中常用文丘里（Venturi）管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为 S1、S2，水的密度和U形测压计中液体的密度分别为?、?m，且???m。若不计水的粘性， 试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。 答：设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为v1和v2，则由连续方程可知：
v1S1?v2S2；
又设管路的流量为Q，则：
v1?Q/S1，v2?Q/S2；
选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：
p11p12?v12??z1?z2??2?v2， ?2?2整理得到：
?p1?p2??1??v22?v12???g?z1?z2?； （1）
2取U形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，则有：
pA?p1??g(z1?h1)，
pB?p2??g(z2?h?h1)??mgh；
由于pA?pB，则可得到：
p1??g?z1?h1??p2??g(z2?h?h1)??mgh；
整理可得：
?p1?p2????g?z1?z2??gh??m???； （2）
将（2）代入到（1）中，可得：
??g?z1?z2??gh??m????再经整理得到：
1?QQ????2???g?z1?z2?； 2??2?S2S1?22??m???gh2??m???ghS12S2，Q?S1S2。 Q?2222??S1?S2??S1?S22??4-8 圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速U均匀，在某截面x处为抛物形速度
22分布：u?r??cr0?rU，其中r为离管轴的径向距离，c为一未知常数。入口处和x处
??管截面压力均匀分布，分别为p0和px，流体密度为?，不计重力。（1）试确定常数c； （2）证明作用在o至x间，管壁上总的摩擦阻力D??r0?p0?px?22??1??U2?。 3?2答：（1）入口处流量为：Q??r0U；由连续方程可知，x处截面的流量也是Q??r0U。 又由于通过x截面半径r处环形微元面积ds?2?rdr上的流量为：
dQ?2?ru?r?dr
对其积分可得到：
Q??2?ru?r?dr?2??r?cr?rUdr?2?cU?r02?r2dr?002020r0r0??r0???2cr04U ；
即：
?2cr04U??r02U；
因此得到：
c?2； 2r0则速度分布为：
?r2?222u?r??2r0?rU?2U??1?r2??。 r00????222（2）入口处流体的动量为：??r0U?U???r0U；x截面上，通过半径为r处的环形面积
流体的动量为：
dM?2??rdr?u?r??u?r??2??ru2(r)dr；
将上式积分得到：
M??2??ru2(r)dr?2???0r0r00r2?42?22?r?4U?1?dr???rU； 0?r2?30??2由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：
4??r02U2???r02U2?p0??r02?px??r02?D； 3其中D为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：
11??D?p0?r02?px?r02???r02U2??r02?p0?px??U2?。
33??4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。
答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：V?（1）求涡线对R点的诱导速度：
诱导速度由3部分涡线产生，即涡线1、2和3： 涡线1：方向垂直纸面向外：
??cos?2?cos?1?； 4?RVR1???cos?2?cos?1?； 4?ldl?d22其中?2?0，cos?2?1；cos?1?因此：
；
??d?1?VR1?4?l?l2?d2???。 ??涡线2：方向垂直纸面向内：
cos?2?则：
ll?d22，cos?1?cos????2???cos?2??ll?d22；
VR2????ll????2?4?d?l2?d2?l?d2????l????； ?22?2?dl?d??
流体力学习题及答案-第四章
