第四章 流体动力学基本定理及其应用 4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？ 答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：
??v???1??v???v?f??p ?t?其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。
（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流
V2p??gz?C，从左至右方程线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：
2?每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。
4-2 设进入汽化器的空气体积流量为Q?0.15m/s，进气管最狭窄断面直径D=40mm，喷油嘴直径d=10mm。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm，汽油液面距喷油嘴高度为50cm，试计算喷油量。汽油的重度??7355N/m。 答：（1）求A点处空气的速度：
设进气管最狭窄处的空气速度为v1，压力为p1，则根据流管的连续方程可以得到：
331?D2?d2v1?Q， 4??因此：v1?4Q。
?D2?d2??（2）求真空度pv
选一条流线，流线上一点在无穷远处F，一点为A点；并且： 在F点：pF?p0，vF?0； 在A点：pA?p1??，vA?v1。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：
p0v12?0?? ??2gp1因此真空度为：
?8?Q2121?4Q1 pv?p0?p1??v1?????22?222222???D?d????D?d?若取空气的密度为??1.226kg/m，那么计算得到：
38?1.226?0.1521pv???9.95?103Pa。 223.14?0.042?0.012?（3）求喷油量：
设喷油嘴处汽油的速度为v2，并设空气的密度为?1，重度为?1，汽油的重度为?2。选一条流线，流线上一点为上述的A点，另一点为汽油液面上的B点；并且：
在A点：pA?p1?p0?12?v1，vA?v2??，zA?h?50cm?0.5m； 2在B点：pB?p0，vB?0，zB?0； 代入到伯努利方程中，可以得到：
2p1?12?v2?h?0?0?0； ?p0??v1???2?2?2?2g整理得到：
2v2??12v1?2gh； ?2因此汽油喷出速度为：
v2??12v1?2gh； ?23其中空气重度?1??1g?1.226?9.81?12N/m；v1?直径是6mm，而不是原来的10mm，则计算得到：
4Q，并注意到喷油嘴的
?D2?d2??1.226?9.8116?0.152v2???2?9.81?0.5?24.366?9.81 73553.142?0.042?0.0062???3.817m/s因此汽油流量为：
11Q2???d2v2??3.14?0.0062?3.817?1.079?10?4m3/s?107.9cm3/s。
444-3 如图所示，水流流入U形弯管的体积流量Q=0.01m/s，弯管截面由S1=50cm减小到
3
2
S2=10cm2，流速v1和v2均匀，若S2截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作
用力及作用点的位置。??1000kg/m。 答：（1）求截面S1和S2上的流速v1和v2：
由连续方程可知：
3Q0.01m3/sv1???2m/s， ?42S150?10mQ0.01m3/sv2???10m/s； ?42S210?10m（2）求S1上的压力p1：
已知S2上的压力p2?1个工程大气压?0.981?10Pa； 由伯努利方程：
5p12v12p2v2??? ?2g?2g得到：
112p1?p2??v12?v2?0.981?105??1000??100?4??1.461?105Pa。
22??（3）求水流对弯管的作用力P：
由动量定理可以得到：
2P-P1-P2??v12S1??v2S2。
其中P1和P2分别为在S1和S2上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。因此：
S1截面上作用力为：
P1??p1?p0?S1?1.164?105?0.981?105?50?10?4?240N，
??S2截面上作用力为：
P2??p2?p0?S2?0。
因此：
2P?P1??v12S1?v2S2?240?103?22?50?10?4?102?10?10?4????240?120?360N（4）求作用力P的作用点：
设作用点距S1截面中心线的距离为e，两管中心线之间的距离为L。 由动量矩定理可以得到：
2P?e???v2?S2?L；
?
即：
2?S2103?102?10?10-4100e??v2????0.278。 LP3603604-4 如图所示，弯管的直径由d1=20cm减小到d2=15cm，偏转角为60°，设粗端表压力p1=7840N/m，流过弯管流体的体积流量Q=0.08m/s，求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。
答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说，S1截面处压力p1和利用伯努利方程得到的S2截面的压力p2的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0，因此在S1和S2截面上，均应以相对压力值计算。 （1）利用连续方程求截面S1和S2上的流速v1和v2：
2
3
v1?Q4QQ4Q?2，v2??2； S1?d1S2?d2（2）利用伯努利方程求S2截面的相对压力 p2： 根据伯努利方程：
p12v12p2v2??? ?2g?2g可以得到：
12； p2?p1??v12?v22??（3）求管壁对流体的作用力Fx和Fy： ①求x方向作用力分量Fx：
由动量定理：
Fx?P2?sin???v2?v2sin??S2?0
其中P2?p2S2为S2截面上外界对管内流体的作用力；整理得到：
22Fx?sin?P2??v2S2?p2??v2sin??S2???22?1?2??p1??v12?v22?1?2??p1??v12?v22??????v??sin??S2??2???sin??S?1?16Q216Q2????p1????24??sin??S224??2??d1?d2????8?Q2?11????sin??S2??p1??2?44????d1d2????8?103?0.082?11??312??7840??????3.142?0.15???443.14220.154??2?0.2??326N②求y方向作用力分量Fy：
由动量定理：
?Fy?P1?P2cos?????v1??v1S1???v2v2cos??S2，
其中P1?p1S1为S1截面上外界对管内流体的作用力，整理得到：
2Fy?P1??v12S1?P2??v2S2cos?2?p1??v12S1?p2??v2S2cos????????16?0.082?1326 32??7840?10???3.142?0.2?24?3.142?0.23??4?450?188?262N（4）求力的作用点：
如图所示，设流体对弯管的作用力Fx和Fy与x轴和y轴的距离分别为ey和ex，由于
流体力学习题及答案-第四章
