第一章 材料科学研究中的数学模型 1. 数学模型的分类
1.按照人们对实体的认识过程来分,数学模型可以分为描述性数学模型和解释性数学模型
2.按照建立模型的数学方法分,可以分为初等模型、图论模型、规划论模型、微分方程模型、最优控制模型、随机模型、模拟模型等。
3.按照模型的应用领域分,可以分为如人口模型、交通模型、环境模型生态模型、水资源模型、再生资源利用模型、电气系统模型、传染病模型和污染模型等。
4.按照模型的特征可以分为静态模型和动态模型、确定性模型和随机模型、离散模型和连续性模型、线性模型和非线性模型等
5.按照对模型结构了解的程度可以分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。它们分别代表人们对原型的丙在机理了解得清楚，不太清楚，不清楚
2.数学模型的作用
数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和简化,便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此,数学模型在科学发展、科学预见科学预测、科学管理、科学决策、驾驭市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。
3.建立数学模型的一般步骤和原则
1.建模准备
建模准备是确立建模课题的过程,就是要了解问题的实际背景,明确建模目的。
2.建模假设
作为课题的原型往往都是复杂的、具体的。这样的原型,如果不经过抽象和二简化,人们对其认识是困难的,也无法准确把握它的本质属性。而建模假设就根据建模的目的对原型进行适当的抽象、简化 把那些反映问题本质属性态、量及其关 出来,简化掉那些非本质的因素、使之摆脱原来的具体形态,形成对建模有用的信息资源和前提条件。这是建立模型最关键的一步。
3.构造模型
在建模假设的基础上,进一步分析建模假设的内容,首先区分哪些是常量哪些是变量,哪些是已知的量、哪些是未知的量,然后查明各种量所处的地位作用和它们之间的关系,选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征构造出刻画实际问题的数学模型 在构造模型时究竟采用什么数学工具,要根据问题的特征、建模的目的要求及建模人的数学特长而定。
4.模型求解
构造数学模型之后,根据已知条件和数据,分析模型的特征和模型的结构特点,设计或选择求解模型的数学方法和算法,然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包,并借助计算机完成对模型的求解
5.模型分析
根据建模的目的要求,对模型求解的数字结果,或进稳定性分析（分析结果重
复获得的可能性),或进行系统参数的灵敏度分析,或进行误差分析筹通过分析,如果不符合要求,就修改或增减建模假设条件,重新建模,直到符合要求。如果通过分析符合要求,还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。
6.模型检验
符合客观实际,若不符合,就修改或增减假设条件,重新建模，直到获得满意结果。
7.模型应用
第三节 常用的数学建模方法
假设合理性原则有以下几点
(1)目的性原则 从原型中抽象出与建模目的有关的因素,简化那些与建模目的无
关或关系不大的元素
(2)简明性原则 所给出的假设条件要简单、准确,有利于构造模型 系不大的因素。
(3)真实性原则 假设要科学，简化带来的误差应满 足实际问题所能允许的误差
范围
(4)全面性原则 对事物原型本身作出假设的同时,还要给出原型所处的环境条件
4.常用建模方法
一、理论分析法是指应用自然科学中的定理和定律,对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳,从而建立系统的数学模型。理论分析法是人们在一切科学研究中广泛使用的方法。在工艺比较成熟、对机理比较了解时,可采用此法。根据问题的性质可直接建立模型。
例/在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关模型假设钢在炉气中发生如下反应:P14可能会有计算题 二、模拟方法（看例题+定义）
模型的结构及性质已经了解，但其数量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统,结构和性质与其相同。而且构造出的模型也类似,就可以把后一种模型看成是原来模型的模拟,而对后一个模型去分析或实验并求得其结果。 三、类比分析法
若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述,则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个(或两类)系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。 四、数据分析法（可能考例题，要写步骤）
当系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统的规律,也不便于类比分析，但有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。回归分析是处理这类问题的 求一条通过或接近一组数据点的曲线,这一过程叫曲线拟合,而表示曲线方程,求系统回归方程的一般方法如下
第二章
一．填空题
1.有限元分析的基本步骤归纳为结构的离散化、单元分析、整体分析. 2.几何方程是反映了弹性体内应变分量和位移分量之间的关系的方程. 3.物理方程是反映物体的应力分量和应变分量之间的关系的方程. 4.弹性力学的基本变量有应力、应变、和位移。 思考题
1.有限元法的基本原理是什么?为什么说有限元法是一种近似的方法? 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。基本思想：“化整为零，集零为整”。也就是将一个原来连续的物体假想地分割成由有限个单元所组成的集合体，简称“离散化”。然后对每个单元进行力学特征分析，即建立单元节点力和节点位移之间的关系。最后，把所有单元的这种关系式集合起来，形成整个结构的力学特性关系，即得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。处理后即可求解，求得结点的位移，进一步求出应变和应力。 用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。 2.简述限元法的特点。
1]基本思想简单朴素，概念清晰易理解 2]理论基础厚实，数值计算稳定、高效 3]边界适应性强，精度可控 4]计算格式规范，易于程序化
5]计算方法通用，应用范围广 3.简述单元、节点的概念。
网格划分中的每一个小部分称为单元。 网格间相互联结点称为节点。 4.应用有限元法分析的目的是什么
有限元分析的目的:针对具有任意复杂几何形状变形体,完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息,即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)。
在准确进行力学分析的基础上,设计师就可以对所设计对象进行强度(strength)、刚度(stiffness)等方面的评判,以便对不合理的设计参数进行修改,以得到较优化的设计方案;然后,再次进行方案修改后的有限元分析,以进行最后的力学评判和校核,确定出最后的设计方案。
5.简述有限元法的应用领域及在产品开发中所起的作用
有限元法则用于产品性能的分析与仿真，帮助设计人员了解产品的物理性能和破坏的可能原因，分析结构参数对产品性能的影响，对产品性能进行全面预测和优化，帮助工艺人员对产品的制造工艺及试验方案进行分析设计。 6.何为弹性力学的平面应力问题和平面应变问题?
所研究对象是等厚度薄板。它在z方向上的尺寸很小，外载荷方向沿板面方向，且沿z为均匀分布，因此可以认为板面上应力分量等于零，这种问题称为平面应力问题。
当物体在z轴方向的尺寸很长，只作用有平行于横截面且不沿长度方向变化的载荷，可认为，沿z轴方向的位移分量等于零，这种问题称为平面应变问题。 1.通常把这种单元、节点及相应节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型。
2.结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到计算结果和精确程度。
3.划分网格时应该做到疏密得当，应力变化快处应密集，应力变化慢处应稀疏。 4.所谓单元分析,就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系。 5.形函数N在节点i处N=1在其他节点处N=0.
6.整体刚度矩阵具有稀疏性,即在整体刚度矩阵中非零元素少,零元素多。 思考题
1.节点的编号原则？半带宽？ 原则：在节点编号时，应注意尽量使同一单元的相邻节点的号码差值尽可能地小些，以便缩小刚度矩阵的带宽，节约计算机存储。 半带宽：
2.何为位移函数?位移函数的收敛准则是什么?选择位移函数的一般原则是什么?
位移函数定义：从离散化的结构中任取一个三角形单元 首先对节点编码：ijm称为局部码 三角形单元节点位移向量：
???e??ui?F?e??Ui?iuj?jum?m?T
三角形单元节点力向量：
ViUjVjUmVm?T
将单元中的位移分布假定是坐标的简单函数，称为位移函数。
收敛准则：（1）位移函数必须能反映单元的刚体位移。常数项就是用于提供刚体位移的。
（2）位移函数必须能反映单元的常量应变。在位移函数中的一次项就是提供单元中的常量应变的。
（3）位移函数应尽可能反映位移的连续性。要求所选择的位移函数既能使单元内部的位移保持连续，又能使相邻单元之间的位移保持连续，后者是指单元之间不出现互相脱离和互相嵌入的现象。
一般原则：1）要考虑到解的收敛性，即要考虑到完备性和协调性的要求。 2）模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。
3）多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等。
2.在建立了单元位移函数后,根据什么导出应变矩阵?根据什么导出应力矩阵？ 通过几何方程导出应变矩阵，通过物理方程导出应力矩阵
3.单元刚度矩阵、整体刚度矩阵有哪些特性?为什么整体刚度矩阵具有稀疏性？ 整体刚度矩阵有以下一些性质： 1）整体刚度矩阵是对称矩阵。
2）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。 3）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。
4）整体刚度矩阵是一个奇异阵。
稀疏性：整体刚度矩阵中非零元素少，零元素多。大型结构离散后节点很多，而某一节点仅与周围少数单元节点相关，因此整体刚度矩阵中存在大量零元素，节点越多整体刚度矩阵越稀疏
5.何为绕节点平均法和两单元平均法?
绕节点平均法 把环绕该节点的各单元应力加以平均，视为该节点的应力。 两单元平均法 把相邻两单元应力的平均值作为公共边中点的应力。
第三章.材料科学研究中主要物理场数值模拟
1.导热方程
1.固体导热的基本控制方程是Fourier方程，稳定状态下Fourier方程可描述
?T为 qx=-λ
?x 2.三维瞬态热传导方程 ?c?T???T????T????T?????x?y???z??????Q=0 ???t?x??x??x??y??z??z??T???T????T?????x?y??Q=0 ??????t?x??x??x??y? 二维热传导微分方程 ?c2. 三维稳态热传导方程 ?c?T???T????T????T?????x????y???z??z?z???Q=0 ?t?x??x??x??y?????T???T????T?????x?y??Q=0 ??????t?x??x??x??y?二维稳态热传导方程 ?c其中?为材料密度,c为材料比热容,t为时间,?x?y?z分别为材料沿x,y,z方向的热导率,Q为物体内部热源密度
2.初始条件
求解问题的初始温度场，也就是零时刻的温度场分布 3.边界条件
1.第一类边界条件：已知温度分布函数 2.第二类边界条件：已知热流密度 3.第三类边界条件：已知物体与周围介质环境的对流产热系数和介质的温度（对
流边界条件）
计算机在材料科学中的应用2
