2024年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（共12小题）. 1．设集合A＝{x|
???1??+2
＞??}，集合B＝{x|﹣5≤2x+1≤3}，则集合A∩B＝（ ）
B．（﹣2，1）
C．R
D．?
A．[﹣3，﹣2）
2．已知直线l1：xsinα+2y﹣1＝0，直线l2：x﹣ycosα+3＝0，若l1⊥l2，则tan2α＝（ ）A．?
32
B．?
43C． 5
2
D． 5
4
3．已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣1+√????|的最小值为（ ） A．2
B．1
C．√??
D．√??
4．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A．α∥β，m∥α，则m∥β
B．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β C．m⊥n，m⊥α，n∥β，则 α⊥β D．m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β
5．已知f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f（x）可以是（ ） A．f（x）＝x4﹣2x2 C．f（x）＝xsinx
B．f（x）=
????+?????
21
D．f（x）=????+cosx
36．已知圆C：（x﹣a）2+y2＝4（a≥2）与直线x﹣y+2√???2＝0相切，则圆C与直线x﹣y﹣4＝0相交所得弦长为（ ） A．1
B．√?? C．2
D．2√??
7．已知函数f（x）＝sinx+cosx的导函数为g（x），则下列结论中错误的是（ ） A．函数f（x）与g（x）有相同的值域和周期 B．函数g（x）的零点都是函数f（x）的极值点
??2
C．把函数f（x）的图象向左平移个单位，就可以得到函数g（x）的图象 D．函数f（x）和g（x）在区间（?4， ）上都是增函数
4??
??
8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N（1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973． A．2.718 9．（2x+1）（x+A．180
B．6.827
C．8.186
D．9.545
35
）的展开式中x3系数为（ ） √??B．90 C．20 D．10
B，C的对边分别为a，b，c．10．已知锐角三角形△ABC的内角A，且b＝2asinB，则cosB+sinC的取值范围为（ ） A．（0，√??] 11．设双曲线E：
??2??2B．（1，√??] ?
??2??2C．（√，）
2
2
33
D．（，√）
2
2
1
3=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e，P
Q为线段PF1，在双曲线E的右支上，且PF1⊥PF2，与双曲线E左支的交点，若∠PQF2＝30°，则e2＝（ ） A．7﹣2√??
B．1+√?? ?????????，??≤??
C．2√???1
2
D．
72
√??
12．已知函数f（x）={??
，若关于x的方程f（x）﹣mf（x）﹣1＝0恰好??????+1
+，??＞????????有6个不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣2，+?? ）
??1
1??
B．（﹣2，0 ）∪（ 0，+?? ） C．(?2，3
23
2??+1
) ??2+??2??+1??2+??
D．（ ?，0 ）∪（ 0，
）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
→
13．|??|=√??，已知向量??，（1，，（??⊥??，则向量??，√??）??=??满足：???）??的夹角为 ．
→→
→
→
→
→
→→
????????≥????+114．已知非负实数x，y满足{，则??=的最大值是 ．
????+?????≤????+115．已知直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F，l与C交于A，B两点，其中点A在第四象限，若????=2????，则直线l的斜率为 ．
16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD=√??，BC＝AD=√??，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，
→
→
BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}的首项a1＝1，其前n项和为Sn，且满足Sn+1＝2Sn+n+1． （1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）令bn＝n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√??，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C． （1）求证：BE⊥EF；
（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．
19．已知平面内动点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为?． （1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．
20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏． （1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；
34（2）参与者可以选择两种方案：
方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．
方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．
试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由． 21．设函数f（x）＝lnx，g（x）＝a（x﹣1）．
（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值集合；
（2）设xn＝n2（n∈N*），点An（xn，f（xn）），点An+1（xn+1，f（xn+1）），直线AnAn+1的斜率为kn，求证：k1+k2+…+kn＜2（n∈N*）．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{??=√??????????（α为参数），以坐标原点O
??=???????? 为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为????????(??+6）=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点A（2，1），点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值．并求此时点B的坐标． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c是正实数，且a+b+2c＝1． （1）求+
??1
1??
??
12+的最小值；
??
161
（2）求证：a2+b2+c2≥．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A＝{x|
???1??+2
＞??}，集合B＝{x|﹣5≤2x+1≤3}，则集合A∩B＝（ ）
B．（﹣2，1）
C．R
D．?
A．[﹣3，﹣2）
【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 解：∵A＝{x|x＜﹣2，或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x≤1}， ∴A∩B＝[﹣3，﹣2）． 故选：A．
2．已知直线l1：xsinα+2y﹣1＝0，直线l2：x﹣ycosα+3＝0，若l1⊥l2，则tan2α＝（ ）A．?
32
B．?
43C． 5
2
D． 5
4
【分析】根据两直线垂直求出sinα与cosα的关系，计算tanα的值，再求tan2α的值．解：直线l1：xsinα+2y﹣1＝0，直线l2：x﹣ycosα+3＝0， 若l1⊥l2，则sinα﹣2cosα＝0， 即sinα＝2cosα， 所以tanα＝2， 所以tan2α=故选：B．
3．已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣1+√????|的最小值为（ ） A．2
B．1
C．√??
D．√??
2????????2×24
==?3． 1???????2??1?22【分析】满足|z|＝1的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z﹣1+√????|表示复数z在复平面内对应的点Z到点A（1，的距离，再利用数形结合法即可求出结果． ?√??）解：满足|z|＝1的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，
|z﹣1+√????|表示复数z在复平面内对应的点Z到点A（1，?√??）的距离，如图所示：
2024年河南省洛阳市高考(理科)数学三模试卷 (解析版)
