第2讲 两直线的位置关系
[基础题组练]
1
1．(2024·富阳市场口中学高三质检)已知直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：y＝x＋2
2垂直，则a的值是( )
A．2 1C. 2
B．－2 1D．－
2
11
解析：选C.因为直线l2的斜率为，直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：y＝x＋2垂直，
22－1
所以直线l1的斜率等于－2，即＝－2，
a1
所以a＝，故选C.
2
2．(2024·金华十校联考)“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件 C．必要不充分条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
|3×2＋4×1＋C|
解析：选B.点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于＝3，解22
3＋4得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.
3．(2024·义乌模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－3＝0
B．2x＋y－1＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：选D.由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1)．
又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方
y－0x－3
程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.
1－01－3
4．已知点A(－1，2)，B(3，4)，P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为( ) A．15 C．65
解析：选D.设AB的中点坐标为M(1，3)，
B.D.55
215 2
kAB＝
4－21
＝，
3－（－1）2
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)． 即2x＋y－5＝0.
5?5?令y＝0，则x＝，即P点的坐标为?，0?， 2?2?|AB|＝（－1－3）＋（2－4）＝25.
2
2
P到AB的距离为|PM|＝?1－5?＋32＝35. ?2?2??
2
113515
所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×25×＝.
2222
5．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋
C)＝0表示( )
A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线
解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋
C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D.
6．两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )
A．(5，＋∞) C．(34，＋∞)
B．(0，5] D．(0，34 ]
解析：选D.当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为（－1－2）＋[2－（－3）]＝34，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，34 ]．故选D.
7．已知坐标平面内两点A(x，2－x)和B?________．
解析：由题意可得两点间的距离d＝
2?2?2
?x－?＋（2－x）＝
2??1
答案： 2
1?32?211
2?x－＋≥，即最小值为. ?42
24??
2
2
?2?
，0?，那么这两点之间距离的最小值是?2?
8．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________． 解析：在直线x＋2y－3＝0上取两点P1(1，1)、P2(3，0)，
则P1、P2关于点A的对称点P′1、P′2都在直线ax＋4y＋b＝0上．因为易知P′1(1，－1)、P′2(－1，0)，
??a－4＋b＝0，所以?所以b＝2.
?－a＋b＝0，?
答案：2
9．(2024·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y3＋n7＋m＝2×－3，??22
＝2x－3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是?
n－31??m－7＝－2，
3
m＝，??534解得?所以m＋n＝. 531
n＝，??534答案： 5
10．(2024·浙江新高考冲刺卷)已知m∈R，若点M(x，y)为直线l1：my＝－x和l2：mx＝y＋m－3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|·|MB|的最大值为________．
解析：动直线l1：my＝－x过定点A(0，0)，
动直线l2：mx＝y＋m－3化为m(x－1)－(y－3)＝0，得x＝1，y＝3，过定点B(1，3)． 因为此两条直线互相垂直， 所以|MA|＋|BM|＝|AB|＝10， 所以10≥2|MA|·|MB|， 所以|MA|·|BM|≤5，
当且仅当|MA|＝|MB|时取等号． 答案：5
11．已知直线l1：x＋ay＋1＝0和直线l2：(a＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)． (1)若l1∥l2，求b的取值范围； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a＋1)a＝0，
2
2
2
2
2
2
2
?21?1即b＝－a(a＋1)＝－a－a＝－?a＋?＋，
2?4?
2
2
4
2
2
因为a≥0，所以b≤0. 又因为a＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l1⊥l2，所以(a＋1)－ab＝0， 1?1?显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝?a＋?≥2，
2
2
2
2
a?a?
当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2. 12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； (2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以
1
＝3，解得λ＝或λ＝2. 22
2（2＋λ）＋（1－2λ）
|10＋5λ－5|
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
??2x＋y－5＝0，
(2)由?
?x－2y＝0，?
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． 所以dmax＝|PA|＝10.
[综合题组练]
1．(2024·温州八校联考)已知M＝?（x，y）|
??
y－3?
＝3?，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，x－2?
且M∩N＝?，则a＝( )
A．－6或－2 C．2或－6
B．－6 D．－2
解析：选A.集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1，0)的直线ax＋2y＋a＝0，因为M∩N＝?，所以两直线要么平行，要么直线ax＋2y＋a＝0－a与直线3x－y－3＝0相交于点A(2，3)．因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.
2
2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x＋x＋c＝01
的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
8
2
A.
21， 22
B.2，2 2
1
C.2，
2
2
D.
21， 44
解析：选A.由题意知a，b是方程x＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1. |a－b|
又直线x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距离d＝，
2
?|a－b|?2（a＋b）－4ab（－1）－4c1
所以d＝?＝＝－2c， ?＝
222?2?
2
2
2
1111111112
而0≤c≤，所以－2×≤－2c≤－2×0，得≤－2c≤，所以≤d≤. 82822422223．(2024·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________．
解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y3
＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.所以b＝3－4k＋b，解得k＝.所以直线l43m?3311?的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，设直线l上的一点P?m，b＋?，则点P关4?444?3?33111?于点(2，3)的对称点为?4－m，6－b－m?，所以6－b－m＝(4－m)＋b＋，解得b＝.
4?4448?31
所以直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.
48
答案：6x－8y＋1＝0
4．(2024·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x－a）＋（y－b）可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝x＋4x＋20＋x＋2x＋10的最小值为________．
解析：因为f(x)＝
2
2
2
2
2
2
x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10＝（x＋2）＋（0－4）＋
22
（x＋1）＋（0－3），所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．
要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋
(浙江专用)2024版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何2第2讲两直线的位置关系高效演练分层突破
