模型组合讲解一一行星模型
马文萍
［模型概述］
所谓“行星”模型指卫星绕中心天体，或核外电子绕原子旋转。它们隶属圆周运动，但 涉及到力、电、能知识，属于每年高考必考内容。
［模型讲解］
例1?已知氢原子处于基态时， 核外电子绕核运动的轨道半径
r1 0.5 10 10m，则氢原
（
）
子处于量子数n 1、2、3,核外电子绕核运动的速度之比和周期之比为：
3
3
3
A. V1 : V2 : V3 1:2:3 ； T1 : T2 : T3 3 : 2 : 1
133
1:丄:; T1 :T2 :T3 1: 2: 3 B. V| : v2 : v3
2 3
C. v1 : v2 : v3
33
D.以上答案均不对。
解析：根据经典理论，氢原子核外电子绕核作匀速率圆周运动时,
由库仑力提供向心力。
ke
2
v
m 一，从而得
r
2
线速度为v
周期为T
又根据玻尔理论，对应于不同量子数的轨道半径
2
rn与基态时轨道半径r1有下述关系式:
rn n *。
由以上几式可得 v的通式为:
e k
vn
v1 n
n * mri
所以电子在第1、2、3不同轨道上运动速度之比为:
1 1
y
v1 :v2 : v3 1: :
2 3
而周期的通式为：
2
6:3:2
n r1 v1 /n
所以，电子在第
3
n3
V
1
「
1、2、3不同轨道上运动周期之比为:
由此可知，只有选项 B是正确的。
例2?卫星做圆周运动，由于大气阻力的作用， 其轨道的高度将逐渐变化 （由于高度变化 很缓慢，变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动的规律） ，下述关于卫星 运动的一些物理量的变化情况正确的是： （ ）
A.线速度减小；B.轨道半径增大；C.向心加速度增大；D.周期增大。
解析：假设轨道半径不变，由于大气阻力使线速度减小，因而需要的向心力减小，而提 供向心力的万有引力不变，
故提供的向心力大于需要的向心力，
卫星将做向心运动而使轨道
半径减小，由于卫星在变轨后的轨道上运动时，满足
GM 2 3
V J ——和T2 r3，故v增大而T
\\ r
减小，又a
GM r
2
，故a增大，则选项C正确。
评点：一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运动 速率及轨道半径就要发生变化，
万有引力做功，我们将其称为不稳定运动即变轨运动；
它的运行速率就不再发生变化，
而当
它所受万有引力刚好提供向心力时， 做匀速圆周运动，我们称为稳定运行。
轨道半径确定不变从而
对于稳定运动状态的卫星，（1）运行速率不变；（2）轨道半径不变；（3）万有引力提供向心力，
2
即GMm .叱 成立，其运行速度与其运动轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确
r r
定速度相对应。而不稳定运行的卫星则不具备上述关系, 变化。
其运行速率和轨道半径都在发生着
［模型要点］
人造卫星的运动属于宏观现象，氢原子中电子的运动属于微观现象，由于支配卫星和电
1
子运动的力遵循平方反比律，即F —，故它们在物理模型上和运动规律的描述上有相似
r
点。 公式 F GMm F kqg F类似 F 2 r 2 r 适用条件 质点 点电荷 都是理想模 型 研究对象 相互作用 方向 实际应用 有质量的两个物体 引力与引力场 两质点连线上 两物体间的距离比物体 本身线度大得多 带有电荷的两个物体 电场力与静电场 两点电荷的连线上 两带电体间的距离比带 电体本身线度大得多 静电场 类似 都是场作用 相同 相同
适用对象 引力场 不同 ［特别说明］
线速度与轨道半径的关系
设地球的质量为 M，卫星质量为 m,卫星在半径为r的轨道上运行，其线速度为
v,可
GMm r
2
GM
m 一，从而v r
,即 v r
设质量为m'、带电量为e的电子在第
n条可能轨道上运动，其线速度大小为
1
V,则有
ke
2
亍 m ，从而v rn rn
v
2
。
可见，卫星或电子的线速度都与轨道半径的平方根成反比。
二.动能与轨道半径的关系 卫星运动的动能为 Ek GMm即Ek -。
2r
模型组合讲解——行星模型
