一、直线与平面垂直的判定 1．直线与平面垂直
如果直线l与平面α内的_______________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相定义 垂直 记法 有关 概念 l⊥α 直线l叫做平面α的_______________，平面α叫做直线l的_______________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_______________． 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． （2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 一条直线与一个平面内的两条_______________直线都垂直，则该直线与此平面垂直 图形 语言 符号 l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，_______________?l⊥α 语言 作用 判断直线与平面_______________
（1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
（2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．
3．直线和平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面_______________，但不和这个平面_______________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_______________叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引_______________，过_______________和_______________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_______________，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于_______________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于_______________．因此，直线与平面所成的角α的范围是_______________．
二、平面与平面垂直的判定 1．二面角
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为_______________．从一条直线出发的概念 两个_______________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的_______________，这两个半平面叫做二面角的_______________ 图示 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于文字 二 平面角 面 角 的 平 面 角 符号 范围 二 面 角 的 大 小 及 记 法 记法 （棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角_______________． OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角 [0，π] 二面角的大小可以用它的_______________来度量，二面角的平面角是多少度，就说规定 这个二面角是多少度．平面角是_______________的二面角叫做直二面角 棱为l，面分别为α，β的二面角记为_______________．如图所示，也可在α，β内图示 _______________的射线，则这两条射线构成的_______________叫做这个二面角的【温馨提示】二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转
量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平面的位置关系．
知识剖析
（1）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关． （2）平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
2．平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_______________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作_______________．
（2）画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_______________垂直．如图所示．
3．平面与平面垂直的判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的_______________，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，_______________?α⊥β 作用 判断两平面_______________ 【温馨提示】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题（即空间问题）转化为处理线面垂
直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决． 三、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_______________ 符号语言 a?????_______________ b???图形语言 作用 （1）证明两直线_______________； （2）构造平行线 【温馨提示】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．
直线与平面垂直的性质
l⊥??a⊥??a∥b?（1） （2） （3） ??l?b；??a∥b；??b⊥?；
b???b⊥??a⊥???∥??a⊥??（4） （5） ??a⊥?；???∥?．
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四、平面与平面垂直的性质定理
文字 语言 两个平面垂直，则_______________垂直于_______________的直线与另一个平面_______________
高中数学必修二讲义 专题2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
