总复习主要知识点
（数与代数部分）
第一章数和数的运算 一概念 （一）整数
1、 整数的意义
自然数和0都是整数。像?1, -2,?3……这样的 数也叫整数。
2、 自然数
我们在数物体的时候，用來表示物体个数的1,2, 3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数°
3、 计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、 亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10o这样的 计数法叫做十进制计数法。
4、 数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的 位置叫做数位。
5、 数的整除
整数a除以整数b（b H 0）,除得的商是整数而 没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除
a o
如果数a能被数b （b H 0）整除，a就叫做b 的倍数，
b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约 数是相互依存
的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是 35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数 是1,最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、
2、5、1（）,其屮最小的约数是1,最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数 是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的 倍数是3 ,没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除， 例如：
202、480、304,都能被2整除。。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、 30、
405都能被5整除。。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就 能被
3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被 9整
除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9 整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4 （或25）整除，这个数 就能被4 （或25）整除。例如：16、404、1256都能 被4整除，
50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8 （或125）整除，这个 数就能被8 （或125）整除。例如：1168、4600、5000、 12344 都能被 8 整除,1125、13375、5000 都能被 125 整除。
能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分 为奇
数和他数。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的 数叫做质数（或素数）,100以内的质数有：2、3、5、 7、 11、
13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这 样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了 1夕卜，不是 质
数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同 分类，可分为质数、合数和lo
每个合数都可以写成儿个质数相乘的形式。其中 侮个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因 数，例如
15=3X5, 3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做 分解质因数。
例如把28分解质因数28=2X2X7
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其 中最大的一个，叫做这儿个数的最大公约数，例如12 的约数有1、
2、3、4、6、12； 18的约数有1、2、3、
6、9、18o其中，1、2、3、6是12和18的公约数, 6是它
们的最大公约数。
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关 系的两个数，有下列儿种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数
互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数 互质。例如：15和7互质，14和7不互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。 如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这 两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是lo 儿个数公有的倍数，叫做这儿个数的公倍数，其 中最小的一个，叫做这儿个数的最小公倍数，如2的
倍数有 2、4、6、8、10、12> 14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、 12、……
是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这 两个数的最小公倍数。
如杲两个数是互质数，那么这两个数的积就是它 们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公 倍数的个数是无限的。
（二）小数
1小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得 到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数 表示。
一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之 几，三位小数表示千分之几……
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10o小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部 分的最低单位“一”之间的进率也是10°
2小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例 如：
0.25、0.368都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如：
3.25、5.26都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做 有限小数。例如：41.7、25.3、0.23都是有限 小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做 无限小数。例如：4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列 无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：n
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者 儿个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如：
3.555……0.0333……12.109109……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复11!现的 数字叫做这个循环小数的循环节。例如：3.99…… 的循坏节是“ 9 ”
, 0.5454……的循环节是
“ 54 ” o
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的， 叫做纯循环小数。例如：3.111 ?????? 0.5656……
混循环小数：循环节不是从小数部分笫一位开始 的,叫做混循环小数。3.1222……0.03333……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分 只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数
字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就 只在它的上面点一个点。例如：3/777……简写作 0.5302302
........................... 简写作。
（三） 分数
1分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份 或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面 的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份; 分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份 的数，叫做分数单位。
2分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分 数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分 数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的 数，通常叫做带分数。
3约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较 小的分数，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分 母分数，叫做通分。
（四） 百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百 分数,也叫做百分率或百分比。百分数表示的两个数 量间的关系，而不是表示一种数暈，所以不带单位名 称。
二方法
（一） 数的读法和写法
1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。 读亿
级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面 加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出 来，其它数位连续有几个0都只读一个零。3000600
（读成“三百万六百”或“三百万零六百”都对
2. 整数的写法：（略）
（二） 数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改 写成用“万”或“亿”作单位的数。有吋还可以根据 需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可 以
把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写 后的数是原数的准确数。例如把1254300000改写成
以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单位 的数12.543亿。
2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较 大的
数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表 示。例如:1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4或
者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上 的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一 位进lo例如：省略345900万后面的尾数约是35 万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。
4. 大小比较
1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那 个数
就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的 数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位, 哪一位上的数大那个数就大。
2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分,，整 数部
分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上 的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分 位上的数大的那个数就大……
3?比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的 分数
比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数 的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的 大小。
（三） 数的互化
1. 小数化成分数：原来有儿位小数，就在1的后 面写
几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子, 能约分的要约分。
2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就 化成
有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的, 一般保留两位小数。
3. —个最简分数，如果分母中除了 2和5以外， 不
含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数； 如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不 能化成有限小数。
4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两 位，同
吋在后面添上百分号。
5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把 百分
号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除 不尽
时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能 约分
的要约成最简分数。
（四） 数的整除
1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用 能
整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止, 再把除数和商写成连乘的形式。
2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个 数的
公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数 1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这 儿个数的的最大公约数。
3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个 数
（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质 （或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求 积，这个积就是这儿个数的最小公倍数。
（五）约分和通分
约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外） 去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小 公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母 的分数。
三性质和规律
（一） 商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩 大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二） 小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小 数的大小不变。
（三） 小数点位置的移动引起小数大小的变化
1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大1（）倍; 小
数点向右移动两位，原来的数就扩人100倍；小数 点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……
2. 小数点向左移动一位，原來的数就缩小……3. 小数
点向左移或者向右移位数不够时，要用“0” 补足位。 （四） 分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者 除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
（五） 分数与除法的关系
1. 被除数一除数二 被除数/除数 被除数相当 于分子，
除数相当于分母。
2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为 零。
四运算的意义 （一）整数四则运算
1整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
2整数减法：
己知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个 加数的运算叫做减法。
加法和减法互为逆运算。
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