直线与中的题
值圆最问
精品资料 直线与圆
二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得的弦长 1直线具有斜率k,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为
222A(x1,y1),B(x2,y2),则它的弦长
1?1??y1?y22AB?1?kx1?x2?(1?k)??(x1?x2)?4x1x2??k
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为
y1?y2?k(x1?x2)，运用韦达定理来进行计算.
2当直线斜率不存在是,则
AB?y1?y2.
三、过两圆C1: x2 + y2 +D1x +E1y +F1 = 0和C2: x2 + y2 +D2x +E2y +F2 = 0的交点的圆系方程，一般设为
x2+y2 +D1x +E1y +F1+λ(x2 + y2 +D2x +E2y+F2) = 0 (λ为参数)此方程不包括圆C2. 四、对称问题1和最小，化异侧
2差最大，化同侧
例题分析
1、如果实数x,y满足等式(x?2)2?y2?3， （1）求
y的最大值和最小值;（2）求y?x的最大值与最小值；（3）求x2?y2的最大值与最小值. x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2
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2、已知两定点A(?3,5)，B(2,15)，动点P在直线3x?4y?4?0上，当最小值为（ ）.A．513 B．362 C．155 D．5?102
3、已知点A(?3,8)、B(2,2)，点P是x轴上的点，求当
PA＋
PB 取最小值时，这个
AP?PB最小时的点P的坐标．
【解答】如图示：⑴
,考虑代数式的几何意义:
yy即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即取得最xx大值与最小值；
⑵y?x即过圆上点，且斜率为1的直线在y轴上截距；
⑶x2?y2即圆上的点到原点距离的平方. 当点位于圆与x轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与x轴的右交点时，点到原点的距离最大. 解（1）设P(x,y)为圆(x?2)2?y2?3上一点.
yy
的几何意义为直线OP的斜率，设?k，则直线OPxx
的方程为y?kx.当直线OP与圆相切时，斜率取最大值与最小值. ∵圆心到直线y?kx的距离d?圆相切.∴
|2k?0|k?122?|2k|k?122，∴当|2k|k?122?3，即k??3时，直线OP与
y的最大值为3，最小值为?3. x（2）令y?x?b，即y?x?b，求y?x的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为1的直线在y轴上截距的最大值与最小值.
当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线y?x?b的距离d?|2?0?b|12?12?|2?b| 2∴当|2?b|?3，即b??6?2时，直线OP与圆相切.∴y?x的最大值为6?2，最小值为?6?2. 2（3）要x2?y2的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值. 当点位于圆与x轴的左交点时，点到原点的距离最小；
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当点位于圆与x轴的右交点时，点到原点的距离最大； ∵左交点坐标为(2?3,0)，右交点坐标为(2?3,0) ∴x2?y2的最大值与最小值分别为2?3，2?3 ∴x2?y2的最大值与最小值分别为7?43，7?43.
2【分析】先求出点A关于直线3x?4y?4?0的对称点A'，连接A?和B交直线于点P，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时求得最小值。
PA＋
PB取值最小，最小值为|A'B|.根据两点间的距离公式即可
【解答】如图示：
，设点A关于直线3x?4y?4?0的对称点为A'?(x,y)，
?y?53???1??x?34??3(x?3)?4(5?y)?4?0?22则?解得x?3,y??3
22|A'B|?(2?3)?(15?3)?513 A'?(3,?3)即
即
PA＋
PB的最小值为513.
3【分析】先求出点B关于x轴的对称点B'，连接点A和点B'交x轴于P点，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时
AP?PB取值最小，最小值为|B'A|，点P的坐标即为B'A与x轴交点。
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【解答】如图示：
2x?y?2?0
，点B关于x轴的对称点为B'?(2,?2)，B'A：
B'A与x轴交点为 P(1,0)即为所求.
直线与圆中的最值问题
一、直线与圆的交点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径之间的比较，或者是利用方程有解的问题。
22例1、若直线4x?3y??a?0与圆x?y?100(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a的取值范围
二、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离 例2、求圆?x?2???y?3?
22?4上的点到x?y?2?0的最远、最近的距离
x?y?4?0练习：求圆C: 上的点与直线 的最大值和最小值.
22（x-1）?（y?1）?2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5
直线与圆中的最值问题复习课程
