。 。 。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题3.4 导数的实际应用
1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：
元/千克)满足关系式y＝
＋10(x－6)，其中3 a2 /千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【答案】(1) a＝2. (2) x＝4 - 1 - 2.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数f(x)模型制订奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求； (2)现有两个奖励函数模型： ①y＝x150＋2； ②y＝4lg x－3. 试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 【答案】(1)详见解析(2) ①不符合②符合 - 2 - 则f(x)max＝f(1 000)＝4lg 1 000－3＝9. 所以f(x)≤9恒成立． 设g(x)＝4lg x－3－x41 5，则g′(x)＝xln 10－5 . 当x≥10时，g′(x)＝ 4xln 10－15≤2－ln 10 5ln 10 <0， 所以g(x)在[10,1 000]上是减函数， 从而g(x)≤g(10)＝－1<0. 所以4lg x－3－x<0，即4lg x－3 ， - 3 - 所以f(x)≤恒成立． 5故该函数模型符合公司要求． 3.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知1??400x－x2 2总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝? ?x?最大时，每年生产的产品是_______． 【答案】300 xx， ， 则总利润 4.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时) 的函数解析式可以表示为y＝千米． (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(1) 17.5(2) 80千米/小时，11.25升 100100133 【解析】(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，共耗油×(×40－4040128 00080×40＋8)＝17.5(升)． 因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x千米/小时时， 100 汽车从甲地到乙地行驶了小时， 13 x3－x＋8(0 128 00080 x设耗油量为h(x)升， - 4 - 13100 依题意得h(x)＝(x3－x＋8)· 128 00080x＝ 180015 x2＋－(0 800x－80h′(x)＝－2＝2(0 640x640x令h′(x)＝0，得x＝80. 当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数， ∴当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25. 易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值． 故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升． 5.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________． 【答案】2∶1 6－x?6－x?2x＝1(x3－12x2 【解析】设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π??2π4π?2π?＋36x)(0 x33 V′＝ 3 (x－2)(x－6)． 4π 当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1. 6.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？ 【答案】该容器的高为10cm时，容器有最大容积19600cm 30 - 5 -
(江苏版)2024年高考数学一轮复习专题3.4导数的实际应用(练)
