2024年小学数学奥数基础教材(三年级)
本教程共30讲
第30讲 包含与排除
同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：
(1) 两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上(见左下图)，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？
(2)一个正方形每条边上有6个点(见右上图)，四条边上一共有24个点吗？
聪明的同学马上就会发现：
(1)两个正方形的面积和是8厘米，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。
(2)四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝ 20(个)点。
这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。
一般地，若已知A，B，C三部分的数量(见右图)，其中C为A，B的重复部分，则图中的数量就等于
A＋ B- C。
因为A，B有互相包含(重复)的部分C，所以，在求A和B合在一起的数量时，就要在A＋B中减去A和B互相包含的部分C。这种方法称为包含排除法。
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实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。如，第10讲“植树问题”的例3和例4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法”。 例1 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？
解：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长
38＋ 53- 4＝ 87(厘米)。
例2某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
分析与解：如上页左下图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12＝16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12＝17(人)(见上页右下图)。
由此得到参加语文或数学兴趣小组的有
16＋ 12＋ 17＝ 45(人)。
根据包含排除法，直接可得
28＋ 29- 12＝ 45(人)。
例3 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
分析与解：与例2对比，本例已知全班总人数，如果能仿照例2求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。
根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12＋ 23- 5＝ 30(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。综合列式为
46- ( 12＋ 23- 5)＝ 16(人)。
例4 三年级科技活动组共有63人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？
分析与解：因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同时完成了这两项活动。由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知， 42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)＝63。
由减法运算法则知，完成两项活动的人数为
76-63＝13(人)。
例5 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 分析与解：如右图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。
前100个自然数中能被2整除的数有100÷2=50
(个)。由 100÷3＝ 33…… 1知，前 100个自然数中能被 3整除的数有 33个。由 100÷(2×3)＝ 16……4知，前 100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。
所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有
50＋ 33- 16＝ 67(个)。
练习30
1.三年级四班组织了一次象棋和军棋的棋类比赛，参加象棋比赛的有35人，参加军棋比赛的有24人，有16人两项比赛都参加了。这个班参加棋类比赛的共有多少人？
2.某校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 3.一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？
4.甲、乙两家合住在一套单元房里。甲家能够使用的面积(包括厨房、厕所、走廊等，下同)有56米2，乙家能够使用的面积有65米2，甲、乙两家都能使用的面积有30米2。求这套单元的使用面积。
5.在自然数1～100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？ 6.在自然数1～100中，不能被2，3中任一个整除的数有多少个？
答案与提示 练习30
1.43人。解：35＋24-16=43(人)。 2.21人。解：10＋18-7=21(人)。 3.9人。解：45-(26＋22-12)=9(人)。 4.91米2。解：56＋65-30=91(米2)。 5.47个。
解： 100÷3=33……1，100÷5=20， 100÷(3×5)＝6……10。 33＋20-6＝47。 6.33个。
解： 100÷2=50，100÷3=33……1， 100÷6＝16……4。 100-(50＋33-16)＝33。
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