一．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
a2?b21.（1）若a,b?R，则a?b?2ab (2)若a,b?R，则ab?（当且仅当a?b时取“=”）
22. (1)若a,b?R*，则a?b?ab (2)若a,b?R*，则a?b?2ab（当且仅当a?b时取“=”）
222a?b? (当且仅当(3)若a,b?R，则ab??） a?b时取“=”???2?*23.若x?0，则x?若x?0，则x?1?2 (当且仅当x?1时取“=”）; x1??2 (当且仅当x??1时取“=”） xxxx若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2 (当且仅当a?b时取“=”） 若ab?0，则a?b?2 (当且仅当a?b时取“=”）
ba若ab?0，则
ababab） ??2即??2或??-2 (当且仅当a?b时取“=”
bababaa?b2a2?b24.若a,b?R，则(（当且仅当a?b时取“=”） )?22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求
它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
a+b+c333+
5.a+b+c≥3abc（a,b,c?R）, 3 ≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）； 1
6. n (a1+a2+……+an)≥na1a2Lan(ai?R+,i=1,2,…，n)，当且仅当a1=a2=…=an取等号；
a+b2a+b+c3
变式：a2+b2+c2≥ab+bc+ca; ab≤( ) (a,b?R+) ; abc≤( )(a,b,c?R+)
23
2aba+ba2+b2a≤a+b ≤ab ≤2 ≤ 2 ≤b.(0 b－nbb+m < < ,a>b>n>0,m>0; a－naa+m 应用一：求最值 11 例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋2x 2 （2）y＝x＋x 解题技巧： 1 / 10 5，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求y?x(8?2x)的最大值。 技巧一：凑项 例1：已知x?x2?7x?10(x??1)的值域。 技巧三： 分离 例3. 求y?x?1技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 (t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5 ttt4当,即t=时,y?2t??5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 t技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?调性。例：求函数y?a的单xx2?5x?42的值域。 1?t?(t?2) tx2?412解：令x2?4?t(t?2)，则y?x?5?x2?4?x2?411因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。 tt51因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?。 2t?5?所以，所求函数的值域为?,???。 ?2?2．已知0?x?1，求函数y?x(1?x)的最大值.；3．0?x?条件求最值 1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是. 2，求函数y?x(2?3x)的最大值. 3分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解：3a和3b都是正数，3a?3b≥23a?3b?23a?b?6 当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6． 11变式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值 xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 192：已知x?0,y?0，且??1，求x?y的最小值。 xy2 / 10 y 2 技巧七、已知x，y为正实数，且 ＝1，求x1＋y2 的最大值. 2 a 2＋b 2 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤2 。 x 2＋ 1 同时还应化简1＋y 中y前面的系数为 2 ， x1＋y2 ＝x 2 2 1＋y 2 2·2 ＝2 x·1y 22 ＋2 1y 2下面将x，2 ＋2 分别看成两个因式： 2 1y 221 2 2yx＋( ＋ )x＋ ＋2222 1y 231y 232 x·2 ＋2 ≤ ＝ ＝ 即x1＋y ＝2 ·x ＋ ≤ 224224 2 1 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 30－2b30－2b－2 b2＋30b 法一：a＝ ， ab＝ ·b＝ 由a＞0得，0＜b＜15 b＋1b＋1b＋1－2t2＋34t－311616 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ttt ≥2 1 ∴ab≤18 ∴y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18 16 t·t ＝8 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab 令u＝ab 则u2＋22 u－30≤0，－52 ≤u≤32 1 ∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥ 18a?b点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知?ab（a,b?R?）2（a,b?R?）不等式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想 a?b，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. ?ab（a,b?R?）2变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 到不等式 5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值. a＋ba 2＋b 2 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2 ≤2 ，本题很简单 3x ＋2y ≤2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝2 3x＋2y ＝25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 3 / 10 W＞0，W2＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴W≤20 ＝25 应用二：利用基本不等式证明不等式 1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a?b?c?ab?bc?ca 2221）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc ?1??1??1?例6：已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证：??1???1???1??8 ?a??b??c?分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又 11?ab?c2bc，可由此变形入手。 ?1???aaaa解：Qa、b、c?R?，a?b?c?1。?12ac11?ab?c2bc12ab。同理?1?，?1?。?1???bbaaaacc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1?1??1??1?2bc2ac2ab。当且仅当时取等号。 a?b?c??1?1?1?gg?8??????3abcabc??????应用三：基本不等式与恒成立问题 19例：已知x?0,y?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 xy解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky103?2? 。?k?16 ，m????,16? kk应用四：均值定理在比较大小中的应用： 1a?b例：若a?b?1,P?lga?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg()，则P,Q,R的大小关系是. 221分析：∵a?b?1∴lga?0,lgb?0Q?（lga?lgb)?lga?lgb?p 2a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q 22四．不等式的解法. 1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法 3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一 个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如 （1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。 （答：{x|x?1或x??2}）； （2）不等式(x?2)x2?2x?3?0的解集是____ 4 / 10 （答：{x|x?3或x??1}）； （3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)gg(x)?0的解集为______ （答：(??,1)U[2,??)）； （4）要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是______. 81（答：[7,)） 84．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分 解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 5?x（1）解不等式2??1 x?2x?3（答：(?1,1)U(2,3)）； ax?b?0的解集为（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式 x?2____________ （答：(??,?1)?(2,??)）. 5.指数和对数不等式。 6．绝对值不等式的解法： （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 方法四：两边平方。 1例1：解下列不等式：(1).x2?2x?x(2). -3<<2 x【解析】：（1）解法一（公式法） 原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x 解得x>3或x<0或0 5 / 10 的解集为﹛x︱x<0或0
高中不等式所有知识与典型例题(超全)
