奥数专题——裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如
111，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广??3412到一般情况，就有一个很有用的等式： 即
111?? nn?1n(n?1)111??
n(n?1)nn?1 或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1. 计算：
1111 ???……?1985?19861986?19871987?19881994?1995 分析与解答：
上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例2. 计算：
1111???…? 11?21?2?31?2?3?…?100 公式的变式
当n分别取1，2，3，……，100时，就有
例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，
111??中这两个符号所代表的6()??111111???就变成?，与前面提到的等式6()??6()??111111??相联系，便可找到一组解，即?? nn?1n(n?1)6742 另外一种方法
设n、x、y都是自然数，且x?y，当
111??时，利用上面的变加为减的想法，得算式nxyx?n1?。 nxy 这里
1是个单位分数，所以x?n一定大于零，假定x?n?t?0，则x?n?t，代入上式得yn2t1?n。 ?，即y?tn(n?t)y 又因为y是自然数，所以t一定能整除n，即t是n的约数，有n个t就有n个y，这一来我们便得
22n2111?n，t是n2的约数时，一定有?到一个比?更广泛的等式，即当x?n?t，y?tnn?1n(n?1)111??，即 nxyn2111?n，t是n2的约数时，一定有??，这里n?6,n2?36， 上面指出当x?n?t，y?tnxy36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当t?1时，x?7，y?42
?2时，x?8，y?24
当t?3时，x?9，y?18 当t?4时，x?10，y?15 当t?6时，x?12，y?10 当t?9时，x?15，y?10 当t?12时，x?18，y?9 当t?18时，x?24，y?8 当t?36时，x?42，y?7
当t 故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验： 1. 计算： 2. 计算：
11111111111111 ?????????????3610152128364555667891105120111??时，求x?y。 18xy 3. 已知x、y是互不相等的自然数，当
【试题答案】
1. 计算： 2. 计算：
11111111111111 ?????????????3610152128364555667891105120111??时，求x?y。 18xy 3. 已知x、y是互不相等的自然数，当
x?y的值为：75，81，96，121，147，200，361。
11?111??? 1818?(1?1)3636 因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有 还有别的解法。
奥数专题——裂项法(一)(含答案)-
