值；
②当a ?1 ? 0 ? a,即0 ? a ? 1时,f (x) 的极小值为 f (0) ? ?2 ,此时 f (x) 无极大值；
③当a ? ?2或?1 ? a ? 0或a ? 1时,f (x) 既无极大值又无极小值．
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．
16、设a ? 0,b ? 0.若 3 是3a 与3b 的等比中项，则 ? 的最小值为（
1 1
）
a b
A．8 答案：B
解析：因为3? 3? 3 ，所以a ? b ? 1 ， ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ?
a b B．4 C．1 D．
1 4 1 1b a1 1 a b a b a b
b a 1
? 2 ? 2 b a ? 4 ，当且仅当 ? 即a ? b ? 时“=”成立，故选择B．
a b 2 a b 点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通 能力．
17、设数列?a ? 满足a ? 0, a
n 0 n?1 ? ca3 ?1? c, c ? N*,其中c 为实数．
n
* （Ⅰ）证明： a n ?[0,1] 对任意n ? N成立的充分必要条件是c ?[0,1]； （Ⅱ）设0 ? c ? 1 ，证明： a ? 1? (3c)n?1n
3 1 2 2 2 2 （Ⅲ）设0 ? c ? ，证明： a? a?L a? n ?1??, n ? N * ．
1 2 n
3 1? 3c
, n ? N* ；
解析： (1) 必要性：∵a1 ? 0,∴a2 ?1? c ， 又 ∵a2 ?[0,1],∴0 ?1? c ?1 ，即
c ?[0,1]．
充分性 ：设c ?[0,1]，对n ? N用数学归纳法证明a ?[0,1] n ，
当n ? 1时， a1 ? 0?[0,1]．假设ak ?[0,1](k ?1)
，
* 则a ? ca?1? c ? c ?1? c ? 1，且a k ?1
3 ? ca3 ?1? c ? 1? c ?? 0
k k
k ?1 ，
* ∴ak ?1 ?[0,1] ，由数学归纳法知a n ?[0,1] 对所有n ? N成立．
(2) 设 0 ? c ? 1 ，当n ? 1 时， a ? 0 ，结论成立．
3 2 3 当 n ? 2 时，∵a ? ca ?1? c,∴1? a ? c(1? a )(1? a ? a)
n n?1
n n?1
n?1
n?1 1
1 ∵0 ? C ? ,由（1）知a ?[0,1] ，所以 1? a ? a2 ? 3 且 1? a ? 0
n?1 n?1 n?1 n?1 ， 3
，
∴1? an ? 3c(1? an?1) ，
∴1? a ? 3c(1? a ) ? (3c)2 (1? a ) ?L ? (3c)n?1 (1? a ) ? (3c)n?1
n n?1 n?1 *
n?2 1 ，
∴an ? 1? (3c) (n ? N ) ．
1 2
a2 ? 0 ? 2 ? ，结论成立， (3) 设 0 ? c ? ，当n ? 1时， 1 3 1? 3c
当n ? 2 时，由（2）知an ? 1? (3c)
n?1 ? 0，
n?1 2 n?1 2(n?1) n?1∴a2 ? (1? (3c))? 1? 2(3c)? (3c)? 1? 2(3c) n ，
∴a 2 ?a2 ?L ? a2 ? a2 ?L ? a2 ? n ?1? 2[3c ? (3c)2 ?L ? (3c)n?1 ]
1 2 n 2 n
??n ?1?
2(1? (3c)n )
1? 3c
． ? n ?1??1? 3c
2
点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．
18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：
（1） 公差为 0 的有 6 个；（2）公差为 1 或-1 的有 8 个；（3）公差为 2 或-2 的有 4 个，
共有 18 个，成等差数列的概率为 ，选 B．
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类 时要做到不遗漏，不重复．
19、等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别用Sn 和Tn 表示，若 S
n 4n
? ，则 n 的值为( Tn 3n ? 5 bn
a
)
4n ? 2
A 3n ?1
B 8n ? 3
6n ? 2
C 6n ? 3
8n ? 2
D 6n ? 2
8n ? 3
答案：A 解析： ∵ S
S2n?1 4(2n ?1) ? 8n ? 4 ? 4n ? 2 ． ? ∴ ? T3(2n ?1) ? 5 6n ? 2 3n ?1 2n?1 bn
an
点评：考查等差数列的前n 项和的变形。
a? a
? (2n ?1) 1 2n?1 ? (2n ?1)a ； T ? (2n ?1)b ．
n 2n?1 2n?1 n
2
(a＋b)
20、已知 x＞0，y＞0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则 的最小
cd 值是
2
．
答案：4
2
(a＋b) (x＋y)2 (2 xy)2
解析：∵ cd ＝ xy ≥ xy ＝4．
点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。
21、命题 p : 实数 x 满足 x? 4ax ? 3a? 0 ，其中a ? 0 ，命题q :实数 x 满足 x? x ? 6 ? 0
2 2 2 或 x? 2x ?8 ? 0，且?p 是?q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．
解析：设 A ? x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0(a ? 0)
2 ?
? ? ?x | 3a ? x ? a? ，
2 2 B ? x | x2 ? x ? 6 ? 0或x2 ? 2x ? 8 ? 0?? ? ?x | x? x ? 6 ? 0???x | x? 2x ? 8 ? 0??
? ?x | ?2 ? x ? 3? ??x | x ? ?4或x ? 2?=?x | x ? ?4或x ? ?2??
因为?p 是?q 的必要不充分条件，所以?q ? ?p ，且?p 推不出?q 而CR B ? ?x | ?4 ? x ? ?2? ， CR A ? ?x | x ? 3a, 或x ? a??所以?x | ?4 ? x ? ?2? ? ?x | x ? 3a或x ? a? ，则
?3a ? ?2
?a ? ?4或
?
a ? 0 ??
即? ? a ? 0 或a ? ?4 ．
?
a ? 0 ??
2 3
点评：考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。
． 22、已知二次函数 f (x) 的二次项系数为 a ，且不等式 f (x) ? ?2x 的解集为（1 , 3）
（l）若方程 f (x) ? 6a ? 0 有两个相等的根，求 f (x) 的解析式；
（2） 若 f (x) 的最大值为正数，求 a 的取值范围．
解析：（1）因为 f (x) ? 2x ? 0 的解集为（1，3），所以 f (x) ? 2x ? a(x ?1)(x ? 3) 且a ? 0 ．
因而 f (x) ? a(x ?1)(x ? 3) ? 2x ? ax2 ?(2 ? 4a)x ? 3a
（1） （2）
由方程 f (x) ? 6a ? 0 得： ax2 ?(2 ? 4a)x ? 9a ? 0
因为方程（2）有两个相等的根．
所以? ?[?(2 ? 4a)]2 ? 4a ?9a ? 0 ，即5a2 ? 4a ?1 ?
1 0 ． 解得： a ? 1（舍去）或a ?? ，
5
1 1 2 6 3
将 a ?? 代入（1）得 f (x) 的解析式为： f (x) ? ? x? x ? ，
5 5 5 5
2
a? 4a ?1 1? 2a 2? （2） f (x) ? ax? 2(1? 2a)x ? 3a ? a(x ??， )
a a
2
?
有 a < 0，可得 f (x) 的最大值为?
a2 ? 4a ?1
a
，
a2 ? 4a ?1 所以? > 0，且a < 0．
a
解得： a ? ?2 ? 3或? 2 ?
? a ? 0 ，
故当 f (x) 的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是(??, ?2 ??3)U(?2 ??3, 0) ．
点评：含参数的未知一元二次方程，求函数表达式以及参数的取值范围。计算量比较大，且要求对一元二次函数的知识熟练。
23、已知数列?an ?中， Sn 是其前n 项和，并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ?1, 2,L ), a1 ?1，
⑴设数列bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,? ? ) ，求证：数列?bn ?是等比数列；
an
? , (n ? 1,2,? ? ) ，求证：数列?c ?是等差数列； ⑵设数列c n n
2n ⑶求数列?an ?的通项公式及前n 项和。
分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有 S n?1 =4a n +2，可由S n?2 -S n?1 作切入点探索解题的途径．
解： (1) 由 S n?1 =4a n ?2 ， S n?2 =4a n?1 +2 ， 两式相减， 得 S n?2 -S n?1 =4(a n?1 -a n )，即 a n?2 =4a n?1 -4a n ．(根据 b n 的构造，如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键，注
意加强恒等变形能力的训练)
a n?2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n )，又 b n =a n?1 -2a n ，所以 b n?1 =2b n
①
②
已知 S 2 =4a 1 +2，a 1 =1，a 1 +a 2 =4a 1 +2，解得 a 2 =5，b 1 =a 2 -2a 1 =3
由①和②得，数列{b }是首项为 3，公比为 2 的等比数列，故b =3·2 n?1 ． n n
n?1当 n≥2 时，S =4a n=1 时，S =a =1 n n?1 +2=2 (3n-4)+2；当 1 1 也适合上
式． 综上可知，所求的求和公式为S =2 n?1 (3n-4)+2． n
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列 通项与前n 项和。解决本题的关键在于由条件 Sn?1 ? 4an ? 2 得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
24、设实数a ? 0 ，数列?an ?是首项为a ，公比为? a 的等比数列，记
bn ? an1g | an | (n ? N * ), S b2 ?? ? bn ， n ? b1 ? 求证：当a ? ?1时，对任意自然数n 都有 Sn = 解： an ? a q 1
n?1 n?1 n?1 n
a lg a (1 ? a)
2
?1? (?1)
n?1
(1? n ? na)an
??
? a(?a) ? (?1) a 。
?bn ? an lg | an |? (?1)n?1 an lg | (?1)n?1 an |? (?1)n?1 nan lg | a |
2 3 n?2 ? S (n ?1)an?1 lg | a | ?(?1)n?1 nan lg | a | n ? a lg | a | ?2alg | a | ?3alg | a | ?? ? (?1)? [a ? 2a2 ? 3a3 ?? ? (?1)n?2 (n ?1)an?1 ? (?1)n?1 nan ]lg | a |
2 3 n?2 n?1 n?1 n 记 S ? a ? 2a? 3a?? ? (?1)(n ?1)a? (?1)na①
as ? a2 ? 2a3 ?? ? (?1)n?3 (n ? 2)an?1 ? (?1)n?2 (n ?1)an ? (?1)n?1 nan?1 ②
①+②得(1? a)s ? a ? a? a? ? ? (?1) 2 3 n?2 n?1 a? (?1)n?2 an ? (?1)n?1 nan?1 ③
a ? (?1)n?1 an?1
n?1 n?1
Q a ? ?1,?(1? a)S ? ? (?1) n ? a
1? (1? a)
高中数学经典50题(附答案)_202406050943551
