用高三导数经典第一轮复习

由天下分享时间：2024/12/21 21:07:37 加入收藏我要投稿点赞

高三导数复习

导数概念与运算

知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量?y=f（x0+?x）－f（x0），比值时，

?y?yf(x0??x)?f(x0)叫做函数y=f（x）在x0到x0+?x之间的平均变化率，即=。如果当?x?0?x?x?x?y有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记?x作f’（x0）或y’|x?x0。即f（x0）=lim说明：

（1）函数f（x）在点x0处可导，是指?x?0时，

?y?y有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0?x?x?x?0

f(x0??x)?f(x0)?y=lim。 ?x?0?x?x处不可导，或说无导数。（2）?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）；（2）求平均变化率（3）取极限，得导数f’(x0)=lim2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。 3．几种常见函数的导数:

①C??0; ②?xn???nxn?1; ③(sinx)??cosx; ④(cosx)???sinx;

11⑤(ex)??ex;⑥(ax)??axlna; ⑦?lnx???; ⑧?logax???logae.

xx4．两个函数的和、差、积的求导法则

?y。

?x?0?x?yf(x0??x)?f(x0)=； ?x?x法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (u?v)'?u'?v'. 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)'?u'v?uv'.若C为常数,则(Cu)'?C'u?Cu'?0?Cu'?Cu'.即常数与函数的积的导数

等于常数乘以函数的导数： (Cu)'?Cu'.

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

u'v?uv'?u?（v?0）。 ??＇=2v?v?形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X= y＇|U ·u＇|X

导数应用

知识清单

1．单调区间：一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导，如果f'(x)?0，则f(x)为增函数；如果f'(x)?0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f'(x)?0，则f(x)为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a，b)内的极值；②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? (x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝?f(ξi)△x（其中△

i＝1nx为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：

?baf(x)dx，即?f(x)dx＝lim?f(ξi)△x。

an??i?1bn这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：

11m?1m0dxxdxx＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝lnx＋C； ???m?1xax?edx＝e＋C；?adx＝lna＋C；?cosxdx＝sinx＋C；?sinxdx＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

xxx（2）定积分的性质

①?kf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数）；

aabb②?f(x)?g(x)dx??f(x)dx??g(x)dx；

aaabbb③?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx（其中a＜c＜b)。

aacbcb（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a

ab如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a

aabb

考点1:导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

1【问题1】例1.f?(x)是f(x)?x3?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是．

x?a〖演练〗例2.设函数f(x)?,集合M={x|f(x)?0},P={x|f'(x)?0},若MP,则实数a的取值范围是

x?1

考点2:曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

（2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

【问题2】(1)曲线y?和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .

11（2）已知函数f(x)?x3?ax2?bx在区间[?11)，，(1，3]内各有一个极值点．

32（I）求a2?4b的最大值；

（II）当a2?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．

〖演练1〗若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 .

〖演练2〗过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直线的方程为 .

〖演练3〗过点（－1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线的方程为 .

〖演练4〗.已知两抛物线C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a, a取何值时C1，C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0．设两曲线2y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：f(x)≥g(x)（x?0）．

考点3：导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1. 求函数的解析式； 2. 求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值（最值）；5.构造函数yy?f?(x)证明不等式。【问题3】函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示， b则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点个. a Ox

〖演练1〗对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1) f (x) ?0， y 则必有f(0)＋f(2)- 2f(1) 0. y?f(x) 3 1〖演练5〗已知定义在正实数集上的函数f(x)?2-1 31〖演练2〗函数y= f(x)在定义域(?,3)内可导，其图象如图所示．记y= f(x) ?O 32?21 4 32 833 x 的导函数为y= f (x)，则不等式f (x)≤0的解集为 . 【问题4】设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．

3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的x?[0，

〖演练1〗已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极大值5，其导函数y?f'(x)的图象经

过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c的值.

〖演练2〗函数y?2x?4?x?3的值域是_____________.

【问题5】设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a?-1，求f(x)的单调区间.

考点4：导数的实际应用建立函数模型,利用

【问题9】用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

〖变式〗统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）

13x3?x?8(0?x?120).已知甲、乙两地相距100千米. 的函数解析式可以表示为：y?12800080（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

【专题训练与高考预测】 1．设f(x)= x|x|, 则f′( 0)= . 2．函数f(x)?x3?3x?1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 . 3．函数f(x)?ex?的零点所在的区间是 . 4．函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是＿＿＿＿．

?3)处的切线方程是＿＿＿＿． 5．曲线y?x3?2x2?4x?2在点(1，1x6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=

7.过抛物线y=x2上的点M（1,1）的切线的倾斜角是