2024-2024学年北京大学自主招生考试
数学试题
解答题（本大题共200分）温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
1．（本题20分）求和： （1）7+77+777+?+777n个77；
2005。
（2）2005+20052005+200520052005+?+20052005n个2005
2．（本题15分）试构造函数f（x）、g（x），使其定义域都为（0，1），值域都为[0，1]，且
（1）对于任意a?[0,1],f(x)?a只有一解； （2）对于任意a?[0,1],g(x)?a有无穷多个解。
3．（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数．
4．（本题15分）对于任意n?N*，x1,x2,试用数学归纳法证明：(1?x1)(1?x2)
5．（本题20分）求证:Cn,xn均为非负实数，且x1?x2?1成立． 2?xn?1，2(1?xn)?????C???C?0212n22n?n??Cn??C2nn
2x2?ax?b6．（本题20分）当实数a、b满足何条件时，可使2?1恒成立?
x?2x?2
7．（本题20分）下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解;若不能，请说明理由．
（1）x＋1；（2）x2?x?1; （3） x3?x2?x?1；（4） x4?x3?x2?x?1．
8．（本题20分）解三角方程：asin（x＋
?）=sin2x＋9，其a为实常数． 4
x2?y2?1，9．（本题20分）已知曲线C: 曲线C关于直线y=2x对称的曲线为曲线C’，4曲线C’与曲线C”关于直线y＝?x+5对称，求曲线C’、C”的方程．
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