26．（本题14分）如图，直线y= -x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线
对称轴为直线x=2．
与x轴的另一交点为A，顶点为P，且
（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
- 6 -
2009年中考模拟题 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．Ｄ； 2．D； 3．C；4．Ｃ；5．Ｃ； 6．C；7．Ｂ；8．C． 二、填空题（每小题3分，共24分）
3719．ｙ＝－ｘ＋2等； 10．ｘ1＝0，ｘ2＝5； 11．； 12．90°； 13．； 14．
13222915．90；16．?
4三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分） 17．解：原式＝22?2?4?22．．．．．．．．．．．．．．4分 ?2?2?2 －1 ．
＝22?2?22?8 －1
＝－7 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
2?x?1?1?18．计算：?1?2 ?x?2x?1?x?1?解：原式＝[1?(x?1)(x?1)(x?1)2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ]?(x?1)）
[1?x?1x?1]?(x?1)?x?1?x?1?2x
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
19．（１）证明： ∵E为BC的中点 ∴BE＝CE ∵AB∥CD
∴∠BAE＝∠F ∠B＝∠FCE
∴△ABE≌△FCE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
- 7 -
（２）
解：由（１）可得：△ABE≌△FCE ∴CE＝AB＝15，CE＝BE＝8，AE＝EF ∵∠B＝∠BCF＝90° 根据勾股定理得AE＝17
∴AF＝34．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 20．解：原方程可化为
｜ｘ｜2－3｜ｘ｜＋2＝0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴（｜ｘ｜－1）（｜ｘ｜－2）＝0 ∴｜ｘ｜＝1或｜ｘ｜＝2
∴ｘ＝1，ｘ＝－1，ｘ＝2，ｘ＝－2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 四．（每小题10分，共20分） 21．
解：（１）矩形；（２）菱形，（３）正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （４）小青说的不正确
如图，四边形ABCD中AC⊥BD，AC＝BD，BO≠DO，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点 显然四边形ABCD不是正方形
但我们可以证明四边形ABCD是正方形（证明略）
所以，小青的说法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 22．
解：（１）10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （２）90分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （３）89分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （４）89×10％＋90×30％＋96×60％＝93.5
李刚的总评分应该是93.5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23． 小强和小亮的说法是错误的，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 不妨设小明首先抽签，
- 8 -
画树状图
由树状图可知，共出现6种等可能的结果，其中小明、小亮、小强抽到A签的情况都有两种，概率为
13，同样，无论谁先抽签，他
13们三人抽到A签的概率都是．
所以，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
24．解：（１）作BD⊥AC于点D
由题意可知：AB＝30×1＝30，∠BAC＝30°，∠BCA＝45° 在Rt△ABD中
∵AB＝30，∠BAC＝30°
∴BD＝15，AD＝ABcos30°＝153 在Rt△BCD中， ∵BD＝15，∠BCD＝45° ∴CD＝15，BC＝15∴AC＝AD＋CD＝15
2
3＋15
3＋15）海里．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即A、C间的距离为（15（２） ∵AC＝15
3＋15
轮船乙从A到C的时间为
153?1515＝3＋1
由B到C的时间为3＋1－1＝3 ∵BC＝15
2
153
- 9 -
∴轮船甲从B到C的速度为
2＝56（海里／小时）
答：轮船甲从B到C的速度为56海里／小时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 七、
25．解：（１）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（２）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线ｘ＝2，这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（１）中的判断相矛盾，所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．也就是说，这条抛物线一定过点（－1，0）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（３）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线ｘ＝1，抛物线经过（－1，0），那么抛物线与ｘ轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的； 由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，－8），且经过点（－1，0） 设抛物线的解析式为：ｙ＝ａ（ｘ－1）2－8 ∵抛物线过点（－1，0） ∴0＝ａ（－1－1）2－8 解得：ａ＝2
∴抛物线的解析式为ｙ＝2（ｘ－1）2－8
即：ｙ＝2ｘ2－4ｘ－6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 八、（本题14分）
26． 【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G ∵AH∥EF∥DG，AD∥GH
∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形 ∴FH＝AE，FG＝DE ∵AE＝DE ∴FG＝FH ∵AB∥DG
∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B ∴△CFG≌△BFH
- 10 -
2013年中考数学模拟试题及答案
