人教版高中数学必修3全套教案设计
1.3 算法案例
整体设计
教学分析
在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 三维目标
1．理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2．引导学生得出自己设计的算法程序.
3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 重点难点
教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.
教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 课时安排 3课时
教学过程
第1课时 案例1 辗转相除法与更相减损术
导入新课
思路1（情境导入）
大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时（如8 251与6 105），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异. 思路2（直接导入）
前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想. 推进新课 新知探究 提出问题
（1）怎样用短除法求最大公约数？
（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？ （3）怎样用辗转相除法求最大公约数？ （4）怎样用更相减损术求最大公约数？ 讨论结果： （1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. （2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数. （3）辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
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第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中. 第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.
第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.
如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.
（4）更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 应用示例
例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序. 解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146. 由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数，所以它们的最大公约数相等. 对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813.
同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤： 2 146=1 813×1+333， 1 813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4.
最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.
这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.
算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数为r. 第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步. 程序框图如下图：
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程序：
INPUT m,n DO
r=m MOD n m=n n=r
LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
点评：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146， 可以化为8 251-6 105×1=2 164，所以公约数能够整除等式两边的数，即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数. 变式训练
你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序. 解：当型循环结构的程序框图如下图：
程序：
INPUT m，n r=1
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WHILE r＞0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示. 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以，98和63的最大公约数等于7.
点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程． 变式训练
用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数. 解：324=243×1＋81， 243=81×3＋0，
则324与243的最大公约数为81. 又135=81×1＋54，81=54×1＋27， 54=27×2＋0，
则 81 与 135的最大公约数为27.
所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.
另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大公约数为81. 135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27. 所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.
例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数. （2）用更相减损术求80和36的最大公约数. 解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下： 123＝2×48＋27， 48＝1×27＋21， 27＝1×21＋6， 21＝3×6＋3， 6＝2×3+0，
最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.
（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2. 80÷2=40，36÷2=18.
40和18都是偶数，要除公因数2. 40÷2=20，18÷2=9.
下面来求20与9的最大公约数， 20－9=11，
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11－9=2， 9－2=7， 7－2=5， 5－2=3， 3－2=1， 2－1=1，
可得80和36的最大公约数为22×1=4.
点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等. 变式训练
分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数． 解：辗转相除法： 1 734=816×2+102，816=102×8（余0）， ∴1 734与816的最大公约数是102．
更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数． 867-408=459， 459-408=51， 408-51=357， 357-51=306， 306-51=255， 255-51=204， 204-51=153， 153-51=102， 102-51=51.
∴1 734与816的最大公约数是51×2=102． 利用更相减损术可另解： 1 734－816＝918， 918－816＝102， 816－102＝714， 714－102＝612， 612－102＝510， 510－102＝408， 408－102＝306， 306－102＝204， 204－102＝102.
∴1 734与816的最大公约数是102． 知能训练
求319，377，116的最大公约数． 解：377=319×1+58， 319=58×5+29， 58=29×2.
∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数． 116=29×4.
∴29与116的最大公约数为29.
∴377，319，116的最大公约数为29. 拓展提升
试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．
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