波利亚“解题表”在解题教学中的
应用和发展一例
乔治·波利亚高度重视解题过程中的思维方式和教学形式，总结出解决数学问题的一般步骤——解题表，以培养和提高学生的数学解题能力．
我通过多年教学实践和思考，结合初中数学课程改革的要求，在教学中将“解题表”细化为以下五个步骤：
弄清题意，明确问题；经验联想，拟订方案；分步落实，实施方案；探索变化，寻求发现；回顾交流，强化体验．
在五步曲中，拟订方案和实施方案是解决问题的核心，是解题能否成功的关键，教学中的重点是体验联想、猜想和推理证明的思想方法；“探索变化，寻求发现”是结合数学发现法的教学原则，培养学生创造意识和创新能力；而“回顾交流，强化体验” 强调的是尊重学生的认知水平和心理感受，促进学生形成良好、健康的心理品质和科学的思维方法，达到培养学生综合素质的目的．
本文结合2007年北京市高级中学统一招生考试数学试卷中第25题的教学实例，谈一谈应用波利亚“解题表”进行解题教学的一点体会． 题目：我们知道有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
1．请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； 图⑴
2．如图⑴，在三角形ABC中，点D、E分别在AB、 AC上，设CD、BE相交于点O，若?A=60°，?DCB=?EBC=
1?A，请你写2出图中一个与?A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形．
3．在三角形ABC中，如果?A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且?DCB=?EBC=
1?A．研究：满足上述条件的图形中是否存在等对2
边四边形，并证明你的结论．
一、弄清题意，明确问题 ㈠ 教学实录
[学生：读题、审题．]
[教师：提出读题、审题具体要求．]
⒈搞清题目的已知，并进行简单、直接的推理． ⒉明确要证明的结论，并进行简单、直接的条件判断．
⒊在图中标出已知条件、直接可知的结论、要证明的结论或需知的条件，并用不同的符号区分．
对于第1问，学生容易举出等腰梯形和平行四边形均为等对边四边形． 对于第2问，大部分学生能够猜出∠EOC（或∠DOB）与∠A相等，四边形
BCED是等对边四边形．
㈡ 设计意图
在有关第1问和第2问的师生问答中，学生通过观察、猜想和简单推理，知道了∠EOC＝∠A的依据是“三角形外角定理”，四边形BCED中可能是BD=CE，使学生对题目内容更加清楚，对理解第3问的问题做了充分地准备．
二、经验联想 拟订方案
对于第三问，学生容易猜想出“四边形BCED是等对边四边形，且BD=CE”．但如何证明呢？这是本题、本节课的核心．
㈠ 教学实录
[学生：猜测四边形BCED是等对边四边形，其中BD=CE．]
[教师：提出如何证明的问题，给出分析问题的思路，引导学生寻找证明方法，拟订解题的方案．]
⒈探索解题思路 解题的一般思路为三种：
⑴ 已知→可知……→可知→求证； ⑵ 求证←需知……←需知←已知； ⑶ 已知→可知……←需知←求证．
由于本题条件与结论关系不易发现，一般采用思路⑶． ⒉寻找解题方法
⑴ 回忆做过的类似的题目
［教师：我们做过类似的题目吗？或者是见过类似的图形吗？］ ［学生：思考、讨论］
通过讨论，学生想到了课本上曾经做过的一道练习题（人教版、八年级上册、第150页第12题）：
如图（2），等腰三角形ABC中， 两底角平分线BE、CD分别交AC、AB 于E、D，求证：BE=CD．
⑵ 回忆过程 提炼方法． 图（2） ［教师：回想一下课本上的这个题是怎样证明的？］ ［学生：利用全等三角形的知识证明的．］
引导学生寻找题中的等对边四边形． ⒊ 回到原题 拟订方案 ［教师：此法能直接用于中考题的证明吗？为什么？］ ［学生：不能.因为这里的△BDC与△CEB不一定全等．］ ［教师：那怎么办？］
［学生：添加辅助线构造全等三角形．］
［教师：怎样作辅助线，才能构造与我们做过的题目相似的图形？注意充分利用已知条件．］
［学生1：作直线DF∥BC交直线BE于点F．］
［学生2：作直线BF⊥CD交其延长线于点F，作直线CH⊥BO交BE于点H．］
［教师：太好啦．你们能说说怎样证明
ABDOCEA吗？］
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波利亚“解题表”在解题教学中的应用和发展一例. - 教学方法论指导下 ...
