2014级矩阵理论(54学时)期末试卷(A)
(共7大题,请将解题过程写在答题纸上,其中第三题的两小题只需选做任意一题)
一 (15分).设矩阵M??
?12?2?2
?，对?X?C定义变换f：f(X)?MX?XM. ?03?
(1). 证明：f是线性变换； (2). 求f在C
2?2
的基E11??
?10??01??00??00?
E?E?E?,,, ?12??21??22??下的矩阵A；
?00??00??10??01?
(3). 求f的值域R(f)及核子空间K(f)的基及它们的维数。 二( 分).设R
2?2
的两个子空间为
???x1
V1???
???x3
?x2??
23020???????xxxxxxx,??231234x4?1??
??22???1???1
V2?span???,???
2148a?a???????
(1). 求V1的基与维数；
(2). a为何值时，V1?V2是直和？当V1?V2不是直和时，求V1IV2的 基与维数。
??101???
（15分）．已知A??120?，求A的Jordan标准形J，并求相似变换矩阵P二
??403???使得A?PJP?1。
．本题中两小题只需选做任意一题) . 三 (15分）
(1). 设T是R的线性变换,其定义为：T(x,y,z)?(0,x,y) 求T的值域及核。 (2).假设V?R3[x]中的内积定义为:
3
2
?f(x),g(x)???0
2
f(x)g(x)dx。求??(x?1)2在子
??W
空间W?L(1,x?1)中的正投影?0，使得???0?min???。
?201?
四 (15分).求矩阵A???的奇异值分解表达式。
120??
五 (10分).设A为n阶半正定Hermite矩阵且A?O。证明：|
A?E|?1，其中E为单
位阵。
六 (7分).设V是一n维欧氏空间，??V是一单位向量，a,b是未知参数，V上的线性变换f定义为：f(?)?a??b??,???,???V，其中??,??表示?和?的内积。问：当a,b取何值时，f是正交变换？
七 (18分). (1). 已知矩阵M??别是A
?A
?OO?
?，其中矩阵A、B的F范数及算子2、?范数分B?
?
F
?5，B
?
F
?4，A2?3，B2?2，A
?3.2，B
?
?2.5，试求M
F
、
M2和M
(2). 设A?C
；
s?n
。试证：1PAPF?PAP2?PAPF； nn?n
(3). 设?是C
n?n
上的任一相容矩阵范数，?为矩阵A?C。
的特征值。则对任意正整数k，
证明： |?|?A
1kk
安理工研究生 2015矩阵理论期末试卷A
