课时跟踪检测（二十三） 圆锥曲线
．(
届
高
三
·
石
家
庄
摸
底
)已知椭圆：
＋
＝(＞＞)的左、右顶点分别为，，且长轴长为，为椭圆上任意一点，直线，的斜率之积为－.
()求椭圆的方程；
()设为坐标原点，过点()的动直线与椭圆交于，两点，求·＋·的取值范围． 解：()设(，)，由题意知(－)，()， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 则＝，＝.
由＝－，得·＝－， 整理得＋＝.
故椭圆的方程为＋＝.
()当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝＋，点，的坐标分别为(，)，(，)，联立方程(\\\\(()＋()＝，＝＋))
所以＋＝－，＝－.
从而，·＋·＝＋＋＋(－)(－)＝(＋)＋(＋)＋＝＝－＋. 所以－＜·＋·≤－.
当直线的斜率不存在时，·＋·的值为－. 综上，·＋·的取值范围为.
．(·全国卷Ⅱ)设为坐标原点，动点在椭圆：＋＝上，过作轴的垂线，垂足为，点满足＝.
()求点的轨迹方程；
()设点在直线＝－上，且·＝.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点. 解：()设(，)，(，)， 则()，＝(－，)，＝(，)． 由＝，得＝，＝.
因为(，)在椭圆上，所以＋＝. 因此点的轨迹方程为＋＝.
()证明：由题意知(－)．设(－，)，(，)， 则＝(－，)，＝(－－，－)， ·＝＋－，
＝(，)，＝(－－，－)．
消去，得(＋)＋－＝.
由·＝，得－－＋－＝， 又由()知＋＝，故＋－＝. 所以·＝，即⊥.
又过点存在唯一直线垂直于， 所以过点且垂直于的直线过的左焦点. ．(
届
高
三
·西
安
八
校
联
考
)设，分别为椭圆：
＋
＝(＞＞)的左、右焦点，若椭圆上的点(，)到点，的距离之和等于.
()求椭圆的方程；
()若直线＝(≠)与椭圆交于，两点，为椭圆的左顶点，直线，分别与轴交于点，.问：以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
解：()由椭圆上的点(，)到点，的距离之和是，可得＝，＝. 又(，)在椭圆上，因此＋＝，所以＝， 所以椭圆的方程为＋＝. ()因为椭圆的左顶点为， 所以点的坐标为(－，)．
因为直线＝(≠)与椭圆＋＝交于，两点，设点(，)(不妨设＞)，则点(－，－)．由(\\\\(＝，,()＋()＝))
所以＝，则＝，
所以直线的方程为＝(＋)． 因为直线，分别与轴交于点，， 令＝，得＝， 即点，. 同理可得点. 所以＝
＝.设的中点为， 则点的坐标为.
则以为直径的圆的方程为＋＝，即＋＋＝. 令＝，得＝，即＝或＝－.
故以为直径的圆经过两定点()，(－)． .(·
安
徽
二
校
联
消去，得＝，
考)已知焦点为的抛物线：＝(＞)，圆：＋＝，直线与抛物线相切于点，与圆相切于点.
()当直线的方程为－－＝时，求抛物线的方程； ()记，分别为△，△的面积，求的最小值． 解：()设点，由＝(＞)得，
＝，求得′＝，因为直线的斜率为， 所以＝且－－＝，解得＝. 所以抛物线的方程为＝. ()点处的切线方程为－＝(－)， 即－－＝，的方程为＝－. 根据切线与圆相切，得＝，
化简得＝＋，由方程组(\\\\(－－\\()＝，＝－()，))解得.所以＝－＝＝ ·， 又点到切线的距离 ＝＝， 所以＝ ＝··· ＝， ＝＝，
而由＝＋知，＝－＞，得＞， 所以＝· ＝ ＝ ＝ ＝＋＋ ≥＋，
当且仅当＝时取等号， 即＝＋时取等号，此时＝. 所以的最小值为＋.
2024学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(二十三) 圆锥曲线 Word版含解析
