2.2.1 椭圆的标准方程(二)
学习目标 1.加深理解椭圆定义及标准方程.2.能灵活运用条件求椭圆的标准方程.3.能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．
知识点 椭圆标准方程的认识与推导
思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？
思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．
梳理 (1)椭圆的标准方程的形式
焦点位置 形状、大小 焦点坐标 标准方程 x2y2＋＝1 a2b2(a>b>0) y2x2＋＝1 a2b2(a>b>0) 焦点在x轴上 形状相同，a，b，c满足F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2c 焦点在y轴上
(2)方程Ax＋By＝1表示椭圆的充要条件是____________________． (3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为__________．
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类型一 椭圆标准方程的确定
例1 求焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点的椭圆的标准方程．
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反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
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(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－，)；
22(2)焦点在y轴上，且经过两点(0，2)和(1，0)．
类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2 如图，在圆x＋y＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹．
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引申探究
若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”，改为“过点P作y轴的垂线段PD”．那么线段
PD的中点M的轨迹又是什么？
反思与感悟 如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的
轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为：
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．
??x1＝g
(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式?
??y1＝h
x，y，x，y
.
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即
可．
跟踪训练2 如图所示，B点坐标为(2，0)，P是以O为圆心的单位圆上的动点，∠POB的
平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程．
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1．若方程＋y＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为( )
mA．(1，＋∞) C．[1，＋∞)
1
B．(，＋∞)
2D．(－∞，1)
2．设B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为( ) x2y2
A.＋＝1(y≠0) 259x2y2
C.＋＝1(y≠0) 1616
y2x2
B.＋＝1(y≠0) 259
y2x2
D.＋＝1(y≠0) 169
x2y2
3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两
a2b2点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为____________．
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4．在椭圆＋y＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一
3个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________．
5．△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程．
1．两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：
标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b23 / 8
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程(二)学案新人教B版选修2-1
