高等数学期末复习
第八章 向量代数与空间解析几何 一、内容要求
1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标 2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系 3、会运用定义和运算性质求向量数量积 4、会运用定义和运算性质求向量的向量积 5、掌握向量数积和向量积的定义形式 6、掌握向量模的定义与向量数量积关系 7、掌握向量的方向余弦概念 8、掌握向量的平行概念 9、掌握向量的垂直概念
10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转
曲面，双曲面
11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量
14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题
1、点P(?1,4,2)在yoz面上的投影点为( )； （内容要求1）
A. Q(?1,4,2) B. Q(?1,0,2) C. Q(?1,4,0) D. Q(0,4,2)
解：yoz面不含x，所以x分量变为0，故选D
2、设向量a与三个坐标面xoy,yoz,zox的夹角分别为?1,?2,?3（0??1,?2,?3?cos2?1?cos2?2?cos2?3?（ ）
??2），则
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，cos2?1?cos2?2?cos2?3?2，所以选C。（内容要求2） 3、设向量a与三个坐标面xoy,yoz,zox的夹角分别为?1,?2,?3（0??1,?2,?3?cos2?1?cos2?2?cos2?3? ; ??2），则
解：cos2?1?cos2?2?cos2?3?2，所以填2。（内容要求2）
????4、向量a?(1,?1,3)，b?(?3,1,2)，则a?b?( )；
A. 0 B. 1 C. 2 D. (?5,?11,?2) 解：a?b??3?1?1?(?1)?2?3?2，所以选C。（内容要求3） 5、向量a?3i?j?2k,b?i?2j?k,则(?2a)?b?
解：?2a??6i?2j?4k，所以(?2a)?b??6?1?2?2?4?(?1)??6，所以填?6。（内容要求3）
6、设a=2 i+2j +2k，b=3j -4k，则a·b= 。 解：a?b?2?3?2?0?2?(?4)??2，所以填-2。（内容要求3）
????7、向量a?{1,0,3}，b?{1,?1,2}，则a?b?( )；
rrA. 6 B. ?6
irr解：a?b?1j0k C. {3,1,?1} D. {3,?1,?1}
3?3i?j?k，所以选C。（内容要求4）
1?12????8、向量a?{3,?1,2},b?{1,?1,1},则a?b? ；
ijkrr解：a?b?3?12?i?j?2k，所以填i?j?2k，或填{1,?1,?2}。（内容要求4）
1?119、a与b为两个向量，?为二者的夹角，则a?b?( ). (A) absin? (B) absin? (C) abcos? (D) abcos? 解：由定义，选D。（内容要求5）
10、设a,b为非零向量，则a?b( )a?b. (A) ? (B) ? (C) ? (D) ?
解：因为a?b?|a|?|b|cos?，所以a?b?|a|?|b|?|cos?|?|a|?|b|，选B。（内容要求5） 11、已知a?1,b?2，且a与b的夹角为
?，则a?b?( ). 4(A) 5 (B) 1 (C) 2 (D) 1?2 解：a?b?|a|2?|b|2?2|a|?|b|cos??5，所以，a?b?5，选A。（内容要求6） 12、设a,b为非零向量，且a?b，则必有( ). (A) a?b?a?b (B) a?b?a?b (C) a?b?a?b (D) a?b?a?b
解：a?b?|a|2?|b|2?2|a|?|b|cos??|a|2?|b|2，（cos?=0） 所以选C。（内容要求6）
13、设向量a与三个坐标轴的正向的夹角分别为?,?,?，则
cos2??cos2??cos2?? ; 22?解：cos2??cos2??cos2??1，所以填1。（内容要求7） 14、设向量a与三个坐标轴的正向的夹角分别为?,?,?，已知??解：因为向量a与三个坐标轴的正向的夹角分别为?,?,?，??cos2??cos2??cos2??1，所以cos??0，????4,???4,则
??4,???4,
?2，所以填???2。（内容要求7）
rrrr15、设a?{1,2,?3},b?{2,4,?}，且a//b，则??( )；
(A)
1010 (B) ? (C) ?6 (D) 6 33rr12?3解：因为a//b，所以??，所以选C。（内容要求8）
24?rrrr16、设向量a?{2,?1,?10}，b?{4,?2,1}，则向量a与向量b的关系是( ).
(A) 平行 (B) 斜交 (C) 垂直 (D) 不能确定 解：a?b?0，所以选C。（内容要求9）
???17、已知向量a?b,a?{1,?1,4}，b?{2,m,?1}，则m?( )；
A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2
rrrr解：因为a?b，所以a?b?2?m?4?0?m??2，所以选D。（内容要求9） x2y218、在空间直角坐标系中, 方程z??表示的曲面是( )；
94A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面
x2y2解：z??为椭圆抛物面，所以选A。（内容要求10）
9419、在空间直角坐标系中，方程z2?x2?y2表示的曲面是 ( ).
(A) 双曲抛物面 (B) 旋转抛物面 (C) 椭圆抛物面 (D) 圆锥面
解：z2?x2?y2为圆锥面，所以选D。（内容要求10）
20、空间直角坐标系中，方程x2?y2?R2表示的图形是( )； A. 圆 B. 球面 C. 椭球面 D. 圆柱面 解：x2?y2?R2为圆柱面，所以选D。（内容要求10）
21、空间直角坐标系中，方程z?x2?y2表示的图形是( )； A. 球面 B. 圆锥面 C. 圆柱面 D. 旋转抛物面
解：z?x2?y2为旋转抛物面，所以选D。（内容要求10） 22、空间直角坐标系中，方程4?x2?y2表示的图形是( )； A. 球面 B. 圆柱面 C. 圆锥面 D. 旋转抛物面 解：4?x2?y2为圆柱面，所以选B。（内容要求10） 23、方程y2?4z2?4表示( ).
(A) 双曲柱面 (B) 双曲线 (C) 单叶双曲面 (D) 双叶双曲面 解：y2?4z2?4为双曲柱面，所以选A。（内容要求10） 24、指出旋转曲面z?2x2?2y2的一条母线和旋转轴( ).
?z?2x2?z?2x2(A) ?，z轴 (B) ?，x轴
?y?0?y?0?z?2x2?z?2y2(C) ?，y轴 (D) ?，y轴
y?0x?0???z?2x2解：z?2x?2y为?绕z轴旋转的旋转抛物面，所以选A。（内容要求10）
y?0?2225、平面?y?2z?1在x,y,z轴上的截距分别是( ). (A) ,1,2 (B) 2,1,121 2x2(C) 1,2,1 (D) 2,1,2 解：化截距式方程为?x21yz（内容??1在x,y,z轴上的截距为2,1,，所以选B。
2112要求11）
26、过三点(1,1,?1)，(?2,?2,2)，(1,?1,2)的平面方程为( ). (A) x?3y?2z?0 (B) x?3y?2z?1 (C) x?3y?2z?0 (D) x?3y?2z?0
解：过三点(1,1,?1)，(?2,?2,2)，(1,?1,2)的平面法向量
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