大家都知道，英国的贝克莱主教对微积分的攻击是最为激烈的，他的名字几乎成了“反微积分”的代名词。贝克莱对微积分的批判，主要是依据牛顿所创立的 微积分，而不是莱布尼茨的微积分：牛顿是按照“流数法”来建立微积分的，而莱布尼茨是把单子论的哲学思想用于数学实践之中，因此两者还是有所区别的。贝克 莱批判了牛顿的许多论点，例如，在《求曲边形的面积》一文中，牛顿辩解说自己避免了“无穷小量”，他给x以增量0，展开（x + 0）n次方，减去x的n次方；再除以0，求出x的n次方的增量与x的增量比，然后扔掉0的项，从而得到x的n次方的“流数”。贝克莱说牛顿首先给x一个增 量，然后让它是0，这违背了背反律，至于导数被当作y与x消失了的增量之比，即dx与dy之比；贝克莱认为dx与dy既不是有限量也不是无限量，但又不是 “无”，dx与dy只能是“消失了量的鬼魂”。微积分中的“鬼魂论”就是著名的“贝克莱悖论”。针对贝克莱悖论，柯西建立了严格的极限论，戴德金则在实数 论的基础上证明了极限论的基本定理；此外，康托尔和魏尔斯特拉斯也加盟了进来，为微积分寻找牢固的基础。
普遍认为，由于严格的微积分理论的建立，上述的两次数学危机已经解决了。 但事实上，建立严格的数学分析理论是以实数理论为基础的，而建立严格的实数理论又必须以集合论为基础；在集合论的发展过程中，却又出现了一系列悖论，由此 构成了更大的危机。人们把集合论悖论的出现称之为第三次数学危机，应该说是很恰当的。从本质上看，第三次数学危机是前两次数学危机的发展和深化，因为集合 论悖论所涉及的问题更加深刻，涉及的范围也更广阔。
在集合论悖论中，最著名的就是罗素悖论。为了避免过分的专业化，只能将罗素悖论简单地加以描述：
集合可以分为两种：一种是本身分子集，例如，一切概念所组成的集，由于它本身也是一个概念，所以必为该集自身的一个元素。又如一切集合所组成的集合 也是一个本身分子集。另一种非本身分子集，例如，自然数集合N决不是
某个自然数n。这样，任给一集M，它不是本身分子集就是非本身分子集，不应有其他例 外；现在考虑一切非本身分子集的集∑，试问∑是哪一种集合？若设∑为本身分子集，则∑为自身的一个元素，而∑的每一个元素皆为非本身分子集，所以∑也应该 是一个非本身分子集；再设∑为非本身分子集，而一切非本身分子集皆在∑之中，所以∑也应该在其中，因此∑又是一个非本身分子集；不管哪种说法都会导致矛 盾。这就是罗素悖论。
罗素悖论也称为“说谎者悖论”，就如同下面的悖论：
古希腊时代一个克里特岛上的人说：“克里特岛上的人都是说谎者。”如果这句话为真，那他自己（是克里特岛人）就是在说谎，所以他的话就是假的；如果这句话为假，那就是克里特岛人不说谎，那他的话就是真的了。因此，无论怎么解释，都会导致矛盾。
不难看出，数学史上的三次危机，都是与悖论联系在一起的。而悖论最终导致了哥德尔不完备性定理的证明，这使现代数学不仅和逻辑学融为了一体，也和哲学有了无法割舍的联系。
三、不完备性定理与哲学
1.不完备性定理与辩证法
哥德尔定理被许多人解释为是“系统与自身方法之间的矛盾”，完备性与一致性的不相容、一致性与证明的不相容，促使数学家和哲学家都不得不思考：逻辑悖论，真是辨证法所说的那种“对立统一”关系吗？
辩证法——如果它是逻辑的话，那这个逻辑的自身结构应该是什么呢？按
照唯物主义的解释，就是“自然界，人类社会，思维过程”，这种概括包括了三个系 统：自然界，人类社会，思维过程。那么，三个系统能够在辩证法的基础上彼此相容吗？如果每一个系统都遵循哥德尔定理的话，那么辩证法所概括的“系统”也必 然遵循这个定理，结果必然是：辩证法本身就是非逻辑的悖论，而这个悖论的内在表现就是无法使自身形式化，因此在“辩证法”中没有实质性的内容，它不能逻辑 地判断一个命题的“真假”，因此无法使人认识真理。
在这里，辩证法遇到了无法解释的自身的悖论。所以，逻辑悖论问题不是“对立统一”的表现，而是“逻辑自身不能证明自身”、“概念自身不能包括概念” 的表现，目前是通过“系统扩张”或者“概念增加”来解决悖论的；但是“系统扩张”与“概念增加”有没有极限呢？到了极限会是什么局面呢？这，似乎是向人类 智慧进行挑战的极其复杂的问题。
2.数学的真理与哲学的真理
塔尔斯基证明了下面的定理：
定理：对于无穷阶的形式语言来说，如果相应的元理论中可证明命题是无矛盾的，那么就不可能在元语言中构造出一个在约定意义下是充分的关于真理的定义。
这是一个关于真理概念的可定义性的定理，值得注意的是塔尔斯基对定理的证明与哥德尔在方法上有类似之处。
真理与命题之间的矛盾，似乎是悖论的必然表现。这个表现的本质在于，证明了“真理”本身的相对性，而“绝对真理”只能建立在体系完备的基础上，哥德 尔定理证明这是不可能的。因此，当人追求“绝对真理”时，就已经偏离了追求“真
理”的正确道路，其结果必然是：发现“绝对真理”就是绝对的悖论。
因此，20世纪的哲学终于摆脱了“绝对真理”的庞杂体系，开始了自身的变革。虽然，哲学不再充当“科学的教父”，“意识形态的总司令”，但它自身却变的更加接近真理而远离了谬误。这就是20世纪的数学，对人类文明最大的贡献，其影响也是非常深远的。
哥德尔的这个成果，在应用上确实有条件限制。在人文系统，这个定理的应用是有困难的。例如一个伦理系统，它的完备性性与无矛盾性是不受“形式系统P”的限制的，无论是基督教系统、古兰经系统还是儒教系统，都不存在哥德尔问题。
哥德尔的不完备性定理，首先是针对“形式系统”。只有存在“形式系统”的条件下，才会产生“形式与内容”之间的不相容性问题。理论物理系统作为一个“形式 系统”，终极形式最终会导致“完备性”与“无矛盾性”之间的不相容；所以，理论的发展只能是渐进的、分层次的，这就是为什么爱因斯坦可以超越牛顿却无法取 代牛顿的原因；同样超越爱因斯坦也不意味着取代爱因斯坦，因为包含相对论的形式系统（黎曼几何）在相应的物理内容范围内是无矛盾的，相容的。
还有一个问题至今无法得到解释：就是白矮星的运行速度问题。根据天文观测白矮星的质量是太阳质量的百倍多，但运行速度是光速的2.3倍。尽管根据狭义相对论的参照系理论进行了修正，速度仍然在光速的1.9倍。
当时对这个问题的解释有两种：认为“场”的理论有自身的适用范围，白矮星的运动不遵循“引力场”为基础的广义相对论的规则；还有就是认为观测者所在的参照系与白矮星运动的参照系之间，存在着不一致性。
深入的研究发现，“场”的概念确实有问题，对于大星系来说，光速是个很小的速度。引力波以如此缓慢的速度向对方传递引力，显然是有疑问的。
哥德尔不完备性定理——从数学危机到哲学危机
