哥德尔不完备性定理——从数学危机到哲学危机
一、哥德尔不完备性定理的基本内容
一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。
哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为：
定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。
罗塞尔（Rosser）对上面的定理进行了如下改进：
定理：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。具体说就是—— 定理：如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中A是不能证明的，同时￣|A（￣| 为否定连接词——笔者注）也是不能证明的。
作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。映射是数学研究中极为重要的一 种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。哥德尔的方法是：把算术系统（记 为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在 研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对
象（如符号、公式）转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。其次，哥德尔又通过“递归函数”的引进证明了所有元理论中关于表达式的结构性质命题，都可以在算术系统中得到表达。映射原理的应用和递归函数的引进，使元理论中的 命题都映射为了算术系统中的命题，算术系统也因此获得了元数学的意义。
哥德尔在阐述自己的证明思想时说过：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项、括号或中断号）的一个有限序 列，而且人们容易精确地去指明基本符号的那些有限序列是有意义的公式和那些不是有意义的公式。类似地，从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限 序列。对于元数学来说，究竟用什么东西来作为基本符号当然是没有关系的。我们不妨就用自然数来作为基本符号，如此，一个公式就是一个自然数的有限序列，而 证明便是一个有限的自然数序列的有限序列。据此，元数学的概念（命题）也就变成了关于自然数或他们的序列的基本概念（命题），从而就可以（至少是部分地） 在（对象）系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明‘公式’、‘证明’、‘可证公式’等都可在对象系统中加以定义。”
哥德尔按照上述的证明思想，为不完备性定理的证明在对象系统内构造了这样一个命题G，使其元数学的意义为“G是不能证明的（作为元数学的命题”——我们记为G’，这里G’为G的映射。）。
哥德尔指出：一旦构成这样的命题，定理的证明就完成了，因为G正是需要的不可判定的命题。对此，这里仅作简单描述：
前提：
（α）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任何一公理系统的必然要求）。
（β）命题的真理性在映射下保持不变（特别是这里的G和G’是同真假的）。
结论1：G是不能证明的。 证明：用反证法
设G是可以证明的（α）→G为真，（β）→G’为真；由G’的意义→G是不能证明的。矛盾，证毕。
结论2：￣| G也是不能证明的。
证明：由结论1可知，G是不能证明的，由G’的意义→G’为真；（β）→G为真，Df→￣|G为假，（α）→￣| G是不能证明的，证毕。
由结论1和结论2可知G是不可判定的，也就是说系统是不完备的。
上述的证明，可以定性地概括如下：
（1）一个包括初等数论的形式系统P，如果这个系统是一致的，那么它就是不完备的。这条称为第一不完备性定理。
（2）如果一个包括初等数论的形式系统P是一致的，那么它的一致性在本系统中是不能得到证明的。这条称为第二不完备性定理。
哥德尔不仅详细检验了他的论证，而且进一步断定：如果要证明一个系统S的一致性，那么在元理论中所使用的推理工具绝不能弱于系统S中所使用的推理工 具。因此，可以看出，希尔伯特的方案，即用有穷观点证明自然数论甚至整个数学的一致性是绝对行不通的。这一点也说明了形式系统有局限性。 哥德尔定理的证明思想来源于对悖论的分析，可见深入研究悖论问题对数学和逻辑学都有着极为重要的意义。而哥德尔定理的另一个重大意义在于：系统一致性和完 备性的不相容性，仅仅存在于数学系统中，还是普遍存在于所有系统中呢
哥德尔不完备性定理——从数学危机到哲学危机
