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Fx??1, Fy??ez?y, Fz?ez?y?1,
?zez?y1?z1?z?y?, , ?z?yy?z?xe?1?ye?11?e?2z?1?ey?z?ze2(y?z). ??()????y?x?x1?ey?z(1?ey?z)2?x(1?ey?z)36．设函数f(x)在[0,1]上可导，且0?f(x)?1，对于（0 ,1）内所有x有f'(x)?1,证明在（0,1）内有且只有一个数x使 f(x)?x.
设 F(x)?f(x)?x, 在 [0 ,1] 上用零点定理，得 F(x) 至少有一个零点.反设 F(x) 在 [0 ,1] 上存在两个零点c1,c2，即F(c1)?F(c2)?0,?[c1,c2]? [0 ,1] ,由Rolle定理可得至少有??(c1,c2) , 使 F?(?)?0 即 f?(?)?1?0?f?(?)?1,与题设矛盾，故在 (0 ,1) 内有且只有一个x, 使 f(x)?x.7.求函数y?x(1?x)的单调区间和极值.
解 函数y?x(1?x)的定义域是(??,?1)?(?1,??)
2?12?1?y??2x(1?x)?1?x2(?1)(1?x)?2
2x(1?x)?x2x(2?x)? ? 22(1?x)(1?x)令 y?? x(2?x)?0，得驻点x1??2，x2?0 2(1?x)(??,?2) -2 (?2,?1)?(?1,0) - 0 0 极小值 (0,??) + f?(x) + 0 极大值 f(x)
故函数的单调增加区间是(??,?2)和(0,??)，单调减少区间是(?2,?1)及(?1,0)，当
x?-2时，极大值f(?2)??4；当x?0时，极小值f(0)?0.
8.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.
精品
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解: 设平面方程为Ax?By?Cz?1, 其中A,B,C均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为V?11, 且A?3B?6C?1, 令
6ABCF(A,B,C,?)?ABC??(A?3B?6C?1), 则由
??F??A?BC???0??F??AC?3??0?, 求得 ?A???F?AB?6??0???A??A?3B?6C?11?A??3?1?. 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 B??9?1?C??18?xyz1???1, 且Vmin??3?9?18?81. 391869．求下列积分 (1)
???1x131dx
b解：
???1x131dx?limb???1?b1dx?limx31b???13??1x3123?lim(b3?1) b???212极限不存在，则积分发散. (2)
x2?y2?a2??a2?x2?y2d?
解
f(x,y)?a2?x2?y2是D上的半球面，由I???a2?x2?y2d?的几何意义知I=V半球
D2=?a3 3(3)
??yd? ，D由 x?y?1,x?y?1,x?0 的围成。
D解 关于x轴对称，且f(x,y)?y是关于y的奇函数， 由I几何意义知，? ??yd??0。
D4．判别级数件收敛?
an(?1)(1?cos)（常数a?0）的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条?nn?1?精品
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解：由(?1)(1?cos)?1?cosnana，而n精品
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1?coslimn??aaa2sin22()22n?lim2n?lim2n?a?0，
n??n??1112n2n2n2??a1由正项级数的比较判别法知，?(1?cos)与?2同时敛散.
nn?1n?1n?1a而?2收敛，故?(1?cos)收敛，从而原级数绝对收敛.
nn?1nn?1?
4．判别级数
?(?1)nn?2?1的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? lnn解：记un?(?1)?n?111?，则un??vn.
ln(n?1)n?1显见
?n?1???1去掉首项后所得级数?vn仍是发散的，由比较法知?un发散，从而?un发nn?1n?2n?1??1n1是Leibniz型级数，它收敛. 即?(?1)收敛，从而原ln(n?1)lnnn?2散. 又显见
?(?1)n?1?n?1级数条件收敛.
xn4．求幂级数?在收敛区间上的和函数S(x)：
n(n?1)n?1解：??liman?1n(n?1)?lim?1，所以R?1.
n??an??(n?1)(n?2)n?(?1)n又当x??1时，级数成为?，都收敛，故级数的收敛域为[?1,1].
n(n?1)n?1xn设级数的和函数为S(x)，即S(x)??.
n(n?1)n?1?xn?1再令f(x)?xS(x)??，
n?1n(n?1)??xn1n?1?逐项微分得，f?(x)??，f??(x)??x，
n1?xn?1n?1?? x 0f??(x)dx??1dx??ln(1?x)， 01?x x精品
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f?(x)?f?(0)?f?(x)??ln(1?x), f?(0)?0，
? x 0f?(x)dx???ln(1?x)dx??xln(1?x)0?? 0 xxxdx 01?x x??xln(1?x)?x?ln(1?x)?(1?x)ln(1?x)?x，
故f(x)?x?(1?x)ln(1?x)，又显然有S(1)?1，故
?1?x?1?xln(1?x), x?0,1,?S(x)??0, x?0,
?1, x?1.??5．求解微分方程
(1) 2x1?y2dx?ydy?0的所有解. 解 原方程可化为
ydy1?y22（当y?1），两边积分得?1?y2??x2?c，即 ??2xdx，
x2?1?y2?c为通解。当y2?1时，即y??1，显然满足原方程，所以原方程的全部
解为x2?1?y2?c及y??1。 (2) xy??y?x2?y2;
2yy?y?解 当x?0时，原方程可化为y???1???，令?u，得y?xu，原方程化为
xx?x?xu??1?u2，解之得arcsinu?lnx?c；
y?y?当x?0时，原方程可化为y????1???，类似地可解得arcsinu??lnx?c。综
x?x?合上述，有arcsin(3) y??ycosx?2y?lnx?cx?0;??。 x??lnx?cx?0.1sin2x; 2?cosxdx?1?cosxdxdx?c??sinx?1?ce?sinx。 sin2xe解 由公式得 y?e?????2?三、求解下列各题
精品
高等数学(专科)复习题及答案
