四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）
总体要求
考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。
考试用时：120分钟
考试范围及要求
一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学
四 向量代数与空间解析几何 五 多元函数微积分学 六 无穷级数 七 微分方程 八 线性代数 （一）行列式
1. 理解行列式的概念，掌握行列式的性质。 （1）行列式的概念 ① 二阶行列式： a11a21a12a22a11?a11a22?a12a21
a12a22a23a13a23，
a33 ② 三阶行列式： D3?a21a31a11a21 ③ n阶行列式： Dn??an1a12a22??a1n?a2n
??an2?annn阶行列式的值的特点：（1）一共是有n!项的代数和；（2）每一项都是n个元素的乘积，
它们来自于不同的行、不同的列。（3）这n!项中有一半是正项，另一半是负项。
（2）行列式的性质
变换性质
① 转置变换：DT?D DT为D 的转置行列式。
② 交换变换：D1??D ， D1为D互换两行（列）后所得。ri?rj，ci?cj ③ 倍乘变换：D1?k?D ， D1为D的某行（列）元素都乘以k后所得。kri，kci ④ 倍乘变换：D1?D ， D1为D的某行（列）乘以k加到另外的行（列）后所得。
rj?kri，cj?kci
零值性质
① 如果行列式的某行（列）的元素全为零 ，则此行列式的值为零． ② 如果行列式的某两行（列）的元素相同，则此行列式的值为零． ③ 如果行列式的某两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零．
2. 会用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
（1）行列式的余子式和代数余子式
余子式Mij：划去aij所在的第i行和第j列的全部元素后剩下的元素组成的n?1阶
行列式。
代数余子式：Aij?(?1)i?jMij （2）阶行列式按行（列）的展开
Dn?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin??aikAi1??aik(?1)i?kMik 或
k?1k?1nnDn?a1jAi1j?a2jA2j???anjAnj??akjAkj??akj(?1)k?jMk?1k?1nnjk
（3） 行列式的计算方法
① 先利用行列式的性质使行列式的某一行（列）的元素尽可能多的化为零，再按该行
（列）展开。
② 可将行列式化为特殊行列式后计算．特别是化为三角形行列式。 例1 计算下列的行列式
2?51?37?1①
5?924?61
2231044?2?1?1 ； ② ； ③ 7?212120110abbbbabbbbabbbba
（二）矩阵
1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。
（1）矩阵的定义
?a11??a21由m?n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?n)排成的m行n列的数表????a?m1a12a22?am2a1n???a2n?叫?????amn???矩阵；记为Am?n，或A?(aij)m?n．
当m?n时，矩阵A称为n阶方阵.记作An．
当m?1时，矩阵A称为行矩阵 (或行向量).记为A?(aij)1?n= ?a1,a2,?,an?．
?a1????a2?当n?1时，矩阵A称为列矩阵 (或列向量).记为A=?? 或 A?(aij)m?1.
????a??n?（2）特殊矩阵
零矩阵：矩阵的元素都为0时。
单位矩阵：主对角线都为1的对角矩阵。记为En或E.
对角矩阵(或对角阵）： 在n阶方阵中, 主对角线以外的元素都为零的矩阵。 上三角矩阵： 在n阶方阵中, 主对角线以下的元素都为零。 下三角矩阵： 在n阶方阵中, 主对角线以上的元素都为零。 对称矩阵： aij?aji 或 AT?A 反对称矩阵：aij??aji 或 AT??A
2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。
（1）矩阵的线性运算
设A?(aij)m?n，B?(bij)m?n
矩阵的和：A?B?(aij?bij)m?n 矩阵的差：A?B?(aij?bij)m?n 数乘矩阵：kA?(kaij)m?n
（2）矩阵的乘法
① 定义
设A?(aij)m?k，B?(bij)k?n ,令C?(cij)m?n是由下面m?n个元素
?b1j????b2j?cij?(ai1,ai2,?,aik)??ai1b1j?ai2b2j???aikbkj
?????b??kj?构成的m行n列的矩阵。 称矩阵C?(cij)m?n为矩阵A与矩阵B的乘积。记为：C?AB
② 运算律
（a）结合律：(AB)C?A(BC)
（b）分配律：(A?B)C?AC?BC，A(B?C)?AC?ABC （c）0—1律：AEn?EnA?A，AOn?OnA?O
（d）不具备交换律：AB?BA，
（e）两非0矩阵的乘积可能是0矩阵。即AB?0不能推出：A?0或B?0。 ③ 矩阵的乘方
设A为n阶方阵，称矩阵A自乘m次称为矩阵A的m次方。 A0?E，A1?A，A2?AA Am?AA?A （m个A）
AkAl?Ak?l， (Ak)l?Akl，
（3）矩阵的转置
定义：把A的行、列交换所得得的矩阵叫做矩阵A的转置矩阵。记为AT。
转置矩阵的性质：
① (AT)T?A ② (A?B)T?AT?BT ③ (kA)T?kAT ④ (AB)T?BTAT （4）方阵的行列式
定义：由n阶方阵A的元素按原来顺序构成的行列式称为方阵A的行列式。记为|A|或
det(A)。
矩阵行式的性质
① |AT|?|A| ； ② |kA|?kn|A| ； ③ |AB|?|BA|?|A|?|B|
?10?1??10?????例1 已知：A??210?，B??31?； 求AB。
?32?1??02?????3. 理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。
（1）逆矩阵的定义
设A是n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B,使得AB?BA?E；则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是矩阵A的逆矩阵。A的逆矩阵记为A?1，即B?A?1．
（2）逆矩阵的性质
?1?1① 方阵A可逆?A的逆矩阵是唯一的。且AA?AA?E．
② A可逆 ? A也可逆。且 (A?1)?1?A．
?1③ A可逆,数??0 ? ?A可逆．且(?A)??11?A?1．
④ A可逆? A也可逆，且(AT)?1?(A?1)T． ⑤ A可逆,则有 |A?1T|?|A|?1．
?1⑥ A、B为同阶方阵且均可逆? AB可逆．且(AB)⑦ (A1A2?Am)?1??1?1?1Am?A2A1．
?B?1A?1．
（3）矩阵可逆性质的判别
A可逆? |A|?0．
（4）求矩阵的逆矩阵的公式
① 伴随矩阵： n阶方阵A的行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij构成矩阵
?A11??AA*??12???A?1nA21A22?A2n???A1n??A2n?A?? 称为矩阵的伴随矩阵． ?Ann??② 求矩阵的逆矩阵的公式
专升本资料8（线性代数-改）
