∵sinα∈[﹣1，1]， ∴2sinα∈[﹣2，2]， ∴
?
的取值范围是[﹣2，2]．
故选：C．
9．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：设正方形的边长为2，则阴影部分由2个小等腰直角三角形构成， 则正方形的对角线长为2
，则等腰直角三角形的边长为
×
＝．
，
对应每个小等腰三角形的面积S＝×则阴影部分的面积为2×又正方形的面积为4，
∴该点取自图中阴影部分的概率是故选：B．
，
．
10．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝AC＝大值为
，则这个球的表面积为（ ）
，若四面体ABCD体积的最
A． B．8π C． D．
解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．
小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ＝∴DQ＝4，
设球心为O，半径为R，
则在直角△AQO中，OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝12+（4﹣R）2，∴R＝则这个球的表面积为：S＝4π（故选：C．
11．如图，已知点A，B分别是双曲线C：x2﹣y2＝a2和它的渐近线上的点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，且OA＝OB＝OF1，则（ ）
）2＝
，
A．C．
??
＞＞
?
?
B．D．
??
＝＝
?
?
解：不妨设a＝1，则方程为x2﹣y2＝1， ∴c2＝1+1＝2， 即c＝∴F2（
，
，0），F1（﹣
，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，
∵OA＝OB＝OF1＝∴B（1，1）， 设A（x，y）， 则x2+y2＝|OA|2＝2， ∵x2﹣y2＝1，
，点B在渐近线y＝x上，
解得x＝﹣∴A（﹣∴
，
，y＝
）， ，1﹣，0），＝2﹣＜
?+
，
＝（1+＝（﹣
），＝（?
＝（﹣，0） ＝2﹣
+，﹣），＝（﹣1，﹣1），
∴∴∴
?∴
??
，+0＝2﹣，
，故A，B错误， ）（1+）（
）﹣
×（1﹣
）＝﹣
﹣﹣
++
+2 +2
＝（﹣＝（﹣1﹣＝
?
﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝﹣
故选：D．
12．已知函数f（x）＝x2+mx+2，x∈R，若方程f（x）+|x2﹣1|＝2在（0，2）上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
，
解：方程f（x）+|x2﹣1|＝2即为x2+mx+2+|x2﹣1|＝2，可得
令，则函数y＝h（x）与函数y＝m的图象
有两个交点，
作出函数y＝h（x）的草图如下图所示，
由图观察可知，实数m的取值范围为故选：C．
．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为 3 ．
解：，在坐标系中画出图象，
三条线的交点分别是A（﹣1，﹣1），B（，）， C（2，﹣1），
在△ABC中满足z＝2x+y的最大值是点C，代入得最大值等于3． 故答案为：3．
14．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我
们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：90 79 66 19 19 25 27 19 32 81 24 58 56 96 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 13 79 89 则这三天中恰有两天下雨的概率约是
．
解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393、137． 共6组随机数， ∴所求概率为 故答案为：
．
．
15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，（n+1）an+1＝（n﹣1）Sn，则Sn＝ 解：由（n+1）an+1＝（n﹣1）Sn， 得（n+1）（Sn+1﹣Sn）＝（n﹣1）Sn， ∴（n+1）Sn+1＝2nSn， 则
，
∴{nSn}是以1为首项，以2为公比的等比数列， 则∴故答案为：
， ．
．
16．已知f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣a＝0有四个实根x1，x2，
x3，x4，则这四个根之积x1?x2?x3?x4的取值范围 ．
解：方程f（x）﹣a＝0有四个实根等价于方程f（x）＝a有四个实根，
又等价于y＝f（x）与y＝a两函数图象有四个交点，交点横坐标分别是x1，x2，x3，x4，如图所示：
2024-2024学年人教A版河南省鹤壁市高三第二学期第四次模拟（理科）数学试卷 含解析
