2024-2024学年高三第二学期第四次模拟数学试卷（理科）
一、选择题
1．设集合A＝{x|﹣1≤2x+1≤3}，B＝{x|y＝log2x}，则A∩B＝（ ） A．[0，1]
B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0）
D．（0，1]
2．若复数z满足iz＝2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ） A．（2，4）
B．（2，﹣4）
C．（4，﹣2）
D．（4，2）
3．《九章算术》是我国最重要的数学典籍，曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之一．其中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列?已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升．根据上述条件，请问各节容积的总和是（ ） A．
B．
C．
D．
4．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（ ）
A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米 D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米 5．已知a+a﹣1＝3，下列各式中正确的个数是（ ） ①a2+a﹣2＝7； ②a3+a﹣3＝18；
③④A．1 6．函数f（x）＝
； ． B．2
C．3
D．4
﹣lnx的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线l：x﹣y+2＝0与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，点P
（1，4）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ） A．
B．2
C．
D．
8．如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2＝2，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，
?
的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣，]
9．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝AC＝大值为A．
，则这个球的表面积为（ ）
B．8π
C．
，若四面体ABCD体积的最
D．
11．如图，已知点A，B分别是双曲线C：x2﹣y2＝a2和它的渐近线上的点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，且OA＝OB＝OF1，则（ ）
A．C．
??
＞＞
?
?
B．D．
??
＝＝
?
?
12．已知函数f（x）＝x2+mx+2，x∈R，若方程f（x）+|x2﹣1|＝2在（0，2）上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4小题）
13．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为 ．
14．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我 们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：90 79 66 19 19 25 27 19 32 81 24 58 56 96 83
43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 13 79 89 则这三天中恰有两天下雨的概率约是 ．
15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，（n+1）an+1＝（n﹣1）Sn，则Sn＝ 16．已知f（x）＝
，若关于x的方程f（x）﹣a＝0有四个实根x1，x2，
x3，x4，则这四个根之积x1?x2?x3?x4的取值范围 ．
三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）求角B的大小；
（2）若D为AC的中点，且BD＝1，求S△ABC的最大值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，M是PC上一点，且BM⊥PC． （1）求证：PC⊥平面MBD；
（2）求直线PB与平面MBD所成角的正弦值．
．
19．已知动圆M与直线y＝﹣1相切，且与圆N：x2+（y﹣2）2＝1外切． （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）点O为坐标原点，过曲线C外且不在y轴上的点P作曲线C的两条切线，切点分别记为A，B．当直线OP与AB的斜率之积为﹣1时，求证：直线AB过定点
20．某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，所调查的芯片得分均在[7，19]内，将所得统计数据分为如下[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19]六个小组，得到如图所示的频率分布直方图，其中a﹣b＝0.06．
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数；
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别
装在3个工程手机中进行初测．若3个工程手机的评分都达到13万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到13万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到13万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到13万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到13万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为160元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为5万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
21．已知函数f（x）＝ex﹣2kx﹣1，g（x）＝2kln（x+1）﹣x（k∈R）． （1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）+g（x）≥0对任意x≥0恒成立，求实数k的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答.如果多选，则按所做题的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为
（θ为参数），以坐标
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过极坐标系内的两点
和
．
（1）写出曲线C的普通方程，并求直线l的斜率； （2）设直线l与曲线C交于P，Q两点，求|BP|?|BQ|． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x﹣1|+a． （1）当a＝1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
2024-2024学年人教A版河南省鹤壁市高三第二学期第四次模拟（理科）数学试卷 含解析
