高考数学玩转压轴题专题2.2与三角形相关的范围问题

专题2.2 与三角形相关的范围问题

一．方法综述

与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解． 二．解题策略 【例1】在ΔABC中,若a2?b2=2c2,则角C的最大值为 A.

类型一 结合基本不等式求解问题拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 πππ2π B. C. D. 6433【答案】C

【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值． 【举一反三】

1、【2024天津市耀华中学模拟】在ABC中，如果边a， b， c满足a?1?b?c?，则?A（ ） 2A. 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能 【答案】A

【解析】已知不等式两边平方得

a2?1b??4?2c，利用余弦定理

b2?c2?a2osA??2bc?b?c?b2?c2?42bc2?3b2?c2?2bc8bc???6bc?2bc1?，

8bc2?A为三角形的内角， ?0＜?A＜60?，即?A一定是锐角．

故选A

2、【2024江西省赣州市上高二中模拟】在?ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若

2sniC2a?b?，atnBb1

且csinAsinB?【答案】4

3，则ab的最小值为__________． 2

3、【2024河南省漯河市高级中学模拟】在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

sin2B?C1?sinBsinC?， b?c?2，则a的取值范围是__________． 24【答案】?3,2

??1?cos?B?C?B?C1?sinBsinC??sinBsinC?， 【解析】sin2242得2cos?B?C??4sinBsinC?1， ?2cos?B?C??1， cosA??cos?B?C???21， 222b2?c2?a2?b?c??2bc?a1?b?c?2则cosA????，得bc?4?a???1， ?2bc2bc2?2?解得a?3，又a?b?c?2，

?a的范围是??3,2。

类型二 利用消元法求解问题

【例2】【2024重庆市第一中学模拟】在?ABC中，角A， B， C的对边分别是a， b， c，若

??2a?c?cosB?【答案】

bcosC， b?3，则a?c的取值范围是__________．

?3,23??

2

【指点迷津】利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，利用辅助角公式求范围． 【举一反三】

2221、在ABC中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，若a?b?42?c， ab?4，则

sinCtan2Asin2B的最小值是__________． 【答案】

22?4 2222a2?b2?c2?422【解析】a?b?42?c， ab?4，?cosC? , ???2ab2?42

C??0,???C?3?????,B??A,sin2B?sin2??A??cos2A44?4?,

1???tan2Asin2B?tan2Acos2A?3??2cos2A???3?22, 2cosA?? 3