高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单
【题型综述】
导数研究超越方程
超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．
在探求诸如x3?6x2?9x?10?0，x2?2lnx?x?2x?2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．
此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域． 2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．
4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况求解．
【典例指引】
例1．已知函数f?x??ax?xlnx在x?e?2处取得极小值． （1）求实数a的值；
（2）设F?x??x2??x?2?lnx?f?x?，其导函数为F??x?，若F?x?的图象交x轴于两点
C?x1,0?,D?x2,0?且x1?x2，设线段CD的中点为N?s,0?，试问s是否为F??x??0的根？
说明理由． 【思路引导】
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（1）先求导数，再根据f??e?2??0，解得a?1，最后列表验证（2）即研究F???是否成立，因为F???得x1?x2?lnt?2?t?1?t?1x1?x2???0?2?x1?x2?4?x?x??1，利用x12?2lnx1?x1?0，x22?2lnx2?x2?0?12x1?x2?2?4?x?x?2?lnx1?lnx2?=0，转化为?1，所以F??12???2x?xx?x??12122?lnx1?lnx2?x1?x2?0．其中t?2?t?1?x1，最后利用导数研究函数u?t??lnt?单调性，确定t?1x2方程解的情况
（2）由（1）知函数F?x??x2?2lnx?x．
∵函数F?x?图象与x轴交于两个不同的点C?x1,0?,D?x2,0?，（ x1?x2）， ∴x12?2lnx1?x1?0，x22?2lnx2?x2?0．
2
两式相减得x1?x2?F??x??2x?2?1． x2?lnx1?lnx2?x1?x2?1 2?lnx1?lnx2?44?x?x? ． F??12??x1?x2??1??x1?x2x1?x2x1?x2?2?下解2?lnx1?lnx2?x1?x2?x2?x1?x2?4?0．即ln1??0． x1?x2x2x1?x22?t?1?x1令t?，∵0?x1?x2，∴0?t?1，即lnt??0．
t?1x2t?1??14?令u?t??lnt?，u?t???． ?t?t?1?2t?t?1?2t?12?t?1?2又0?t?1，∴u??t??0，
∴u?t?在?0,1?上是増函数，则u?t??u?1??0， 从而知?2?lnx1?lnx2?4?x?x???0，故F??12??0，即F??s??0不成立． x1?x2x1?x2?2?故s不是F??x??0的根． 例2．设函数f?x??lnx?ax2?bx （1）当a?3,b?2时，求函数f?x?的单调区间；
（2）令F?x??f?x??ax2?bx?(0?x?3)，其图象上任意一点P?x0,y0?处切线的斜率k?恒成立，求实数a的取值范围．
2?（3）当a?0,b??1时，方程f?x??mx在区间?1,e??内有唯一实数解，求实数m的取
1212ax12值范围． 【思路引导】
（1）先求导数f'?x?然后在函数的定义域内解不等式f'?x??0和f'?x?0,f'?x?0的区间为单调增区间， f'?x??0的区间为单调减区间；（2）先构造函数F?x?再由以
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其图象上任意一点P?x0,y0?为切点的切线的斜率k?恒成立，知导函数k?恒成?2?x?x立，再转化为a??00??m?1?12121?2?max求解；（3）先把握f?x??mx有唯一实数解，转化为
lnx有唯一实数解，再利用单调函数求解． x
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数f?x?的
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单调性的步骤：①确定函数f?x?的定义域；②对f?x?求导；③令f'?x??0，解不等式得x的范围就是递增区间；令f'?x??0，解不等式得x的范围就是递减区间． 例3．已知函数（1）讨论
（
）
的单调性；
的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范
（2）若关于的不等式围． 【思路引导】 （1）求出
，分两种情况讨论，分别令
，令
得增区间，令得减区间；（2）
，利用导数研究其单调性，结合零
点定理可得结果． 试题解析： （1）时，
在
，当
时，
在
上单调递减，在单调递减； ， ，即， ，使得
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单调递增；当
上单调递增，在
，
，则，则，
（2）依题意令令又
存在唯一的当当
，
在上单调递增．
． 在在
单调递增； 单调递减．
，，
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单
