专题能力训练14 空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.
其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②③ C.②④ D.①③
4.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 .
6.下列命题正确的是 .(填上你认为正确的所有命题的序号) ①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;
②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;
③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2; ④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB. 7.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明MN∥平面PAB; (2)求四面体N-BCM的体积. 8.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
9.(2024天津,文17)
如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°. (1)求证:AD⊥BC;
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值; (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值. 10.
(2024北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD.
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二、思维提升训练
11.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.
图①
图②
(1)证明:CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36
12.如图,AB是圆O的直径,点C是AB=2,VA=VB=VC=2.
,求a的值.
的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知
(1)求证:OD∥平面VBC; (2)求证:AC⊥平面VOD; (3)求棱锥C-ABV的体积.
13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上. (1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1.
(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由. 14.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB.
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(精编)2024年高考数学二轮复习专题五立体几何专题能力训练14空间中的平行与垂直文
