高一数学人教A版必修一精品教案：3.1.2用二分法求方程的近似解Word版含答案

课题：§ 3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标：

知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件， 解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.

过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解， 法做准备.

情感、态度、价值观

体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.

并了解这一数学思想，为学习算

了解二分法是求方程近似

教学重点：

重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步 形成用函数观点处理问题的意识.

难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.

教学程序与环节设计:

由二分查找及高次多项式方程的求问题引入.

二分法的意义、算法思想及方法步骤.

体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围.

二分法的算法思想及方法步骤， 初步应用二分法解 决简单问题.

二分法应用于实际.

i.二分法为什么可以逼近零点的再分析; 2 .追寻阿贝尔和伽罗瓦.

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 材料一：二分查找(bin ary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹 师生双边互动 师：从学生感兴趣的计 算机编程问题，引导学 生分析二分法的算法 思想与方法，引入课 题. 克分区联赛提高组初赛试题第 15题)某数列有1000 个各不相同的单兀，由低至高按序排列；现要对该 数列进行二分法检索(bi nary-search)，在最坏的情 况下，需检索()个单元。 A. 1000 B. 10 C. 100 D. 500 二分法检索(二分查找或折半查找)演示. 生：体会二分查找的思 创 设 情 材料—：咼次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数 想与方法. y f(x)的零点(即f(x) 0的根)，对于f(x)为 一次或二次函数，我们有熟知的公式解法(二次时， 称为求根公式). 师：从高次代数方程的 解的探索历程，弓1导学 生认识引入二分法的 意义. 境 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根 公式，但对于高于 4次的函数，类似的努力却一直 没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔( Abel )和 4次的 伽罗瓦(Galois )的研究，人们认识到高于 代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运 算及根号表示的 般的公式解.同时，即便对于 3 次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂， 一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于咼次多项 式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近 似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课 题. 二分法及步骤： 师：阐述二分法的逼近 原对于在区间［a , b］上连续不断，且满足 理，引导学生理解二 分法的算法思想，明确 f(a) ? f (b) 0的函数y f (x)，通过不断地把 使区间的两 组 函数f (x)的零点所在的区间一分为二， 织 个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 探 叫做二分法. 给定精度 ，用二分法求函数f (x)的零点近似 究 值的步骤如下： 二分法求函数近似零 点的具体步骤. 分析条件 “ f (a) ? f(b) 0 ”、 “精度”、“区间中 点”及“ | a b | 的意义. ” 1.确定区间［a , b］，验证 f(a) ? f(b) 0 , 给定精度; 2.求区间（a , b）的中点xi ； 3 .计算 f (xj :

呈现教学材料

① 若f（xJ = O，则Xi就是函数的零点; ② 若f(a) ? f (xi)<0，则令b = xi (此时零 点 Xo

(a,

Xi))；

③若f（xj ? f （b）＜0，则令a = xi （此时零 点 Xo (xi,b))；

4 .判断是否达到精度 ；即若 | a b| ,则得到零点零点值 a （或 b ）； 否则重复步骤2~4 .

例题解析：

例1.求函数f （x） x3

x 2x 2的一个

正数零点（精确到0.1）.

分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算 器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间， 然后利用二分法逐步计算解答.

解:（略）. 注意：

①第一步确定零点所在的大致区间

(a , b),

可利用函数性质，也可借助计算机或计算器, 量但尽 取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度, 可确通常 定一个长度为1的区间；

③建议列表样式如下： 零点所在区间 中点函数值 区间长度 [1 , 2] f (1.5)>0 1 [1 , 1.5] f(1.25) <0 0.5 [1.25 , 1.5] f (1.375) <0 0.25 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小 于精度时，即为计算的最后一步.

师生互动设计

生：结合引例“二分查 找”理解二分法的算法 思想与计算原理.

师：引导学生分析理解 求区间（a , b）的中

点 的方法Xi

师：引导学生利用二分

法逐步寻求函数零点 的近似值，注意规范方 法、步骤与书写格式.

生：根据二分法的思想 与步骤独立完成解答， 并进行交流、讨论、评 析.

师：引导学生应用函数 单

调性确定方程解的 个数.

生：认真思考，运用所 学知识寻求确定方程 解的个数的方法，并进 行、讨论、交流、归纳、

环节

例2 ?借助计算器或计算机用二分法求方程 概括、评析形成结论. 2 3x 7的近似解(精确到 0.1 )? 解：(略)? 思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解 所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到 有什么方法确定方程的根的个数？ 结论：图象在闭区间［a , b］上连续的单调函数 f(x)，在(a , b)上至多有一个零点. 环节 呈现教学材料 1)函数零点的性质 师生互动设计 师：引导学生从“数” 和“形”两个角度去体 会函数零点的意义，掌 握常见函数零点的求 法，明确二分法的适用 范围. 从“数”的角度看：即是使 f(x) 0的实数； 从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与x 轴交点的横坐标； 探 究 与 发 现 若函数f (x)的图象在x Xo处与x轴相切，则 零点X。通常称为不变号零点； 若函数f (x)的图象在x xo处与x轴相交，则 零点x0通常称为变号零点. 2)用二分法求函数的变号零点 二分法的条件f(a) ? f(b) 0表明用二分法 求函数的近似零点都是指变号零点. 1 )教材P106练习1、2题； 2)教材P108习题3. 1 (A组)第1、2题； 尝 试 练 习 3) 求方程log3x x 3的解的个数及其大致 所在区间； x 4) 求方程0.9 2 —x 0的实数解的个数； 21 5)探究函数y 0.3x与函数y log°.3X的图 象有无交点，如有交点，求出交点，或给出 一个与 交点距离不超过 0.1的点. 1）教材Pio8习题3. 1 （A组）第3~6题、（B 组）第4题； 2）提高作业： 。已知函数 f(x) 2(m 1)x 4mx 2m 1 . 2 作 业 回 馈 （1） m为何值时，函数的图象与x轴有两个交 点？ （2）如果函数的一个零点在原点，求 m的值. ②借助于计算机或计算器，用二分法求函数 3 f （x） X3 2的零点（精确到0.01）; ③ 用二分法求V3的近似值（精确到 0.01）. 环节 呈现教学材料 师生互动设计 课 外 活 动 查找有关系资料或利用in ternet查找有关咼次 代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（ Abel ）和 伽罗瓦（Galois ）,增强探索精神，培养创新意识. 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判 收 获 与 体 会 定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的 个数的判定方法； 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似 解，对数学有了哪些新的认识？