§10.2导数的应用
一、 知识导学 1.可导函数的极值 （1）极值的概念
设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有f(x)?f(x0)（或
f(x)?f(x0)），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点.
（2）求可导函数f(x)极值的步骤: ①求导数f?(x)。求方程f?(x)?0的根. ②求方程f(x)?0的根.
③检验f?(x)在方程f?(x)?0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y?f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数y?f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值
（1）设y?f(x)是定义在区间?a,b?上的函数，y?f(x)在(a,b)内有导数，求函数
/y?f(x)在?a,b?上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求y?f(x)在(a,b)内的极值.
②将y?f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若函数f(x)在?a,b?上单调增加，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在?a,b?上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. 二、疑难知识导析
1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数f?(x)取值为0的点称为函数f(x)的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数y?|x|在点x?0处有极小值f(0)=0，可是这里的f?(0)根本不存在，所以点x?0不是f(x)的驻点. (1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数f(x)?x的导数
3f?(x)?3x2，在点x?0处有f?(0)?0，即点x?0是f(x)?x3的驻点，但从f(x)在
???,???上为增函数可知，点x?0不是f(x)的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.
(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.
2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系
极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值. 三、经典例题导讲 [例1]已知曲线S:y??223x?x2?4x及点P(0,0)，求过点P的曲线S的切线方程. 3x?0错解：y???2x?2x?4，?过点P的切线斜率k?y?线方程为y?4x.
?4，?过点P的曲线S的切
错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P，上述解法对求过点P的切线方程和求曲线在点P处的切线方程，认识不到位，发生了混淆. 正解：设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点P的曲线S的切线斜率
k?y?x?x0??2x0?2x0?4，又kPQ?Q在曲线S上，
2y0y2，??2x0?2x0?4?0。①?点x0x0232?y0??x0?x0?4x0.②，②代入①得
32??2x0?2x0?4?化简，得
232x0?x0?4x03
x04332x0?x0?0，?x0?0或x0?.若x0?0，则k?4，过点P的切线34
33535，则k?，过点P的切线方程为y?x.?过点P的曲线S48835的切线方程为y?4x或y?x.
8方程为y?4x；若x0?[例2]已知函数f(x)?ax?3x?x?1在R上是减函数，求a的取值范围. 错解：f?(x)?3ax?6x?1,?f(x)在R上是减函数，?f?(x)?0在R上恒成立，
232?3ax2?6x?1?0对一切x?R恒成立，???0，即36?12a?0，?a??3.
正解:f?(x)?3ax?6x?1，?f(x)在R上是减函数，?f?(x)?0在R上恒成立，
2???0且a?0，即36?12a?0且a?0，?a??3.
[例3]当 x?0，证明不等式证明：f(x)?ln(x?1)?x?ln(1?x)?x. 1?xxx，g(x)?ln(x?1)?x，则f?(x)?，当x?0时。21?x(1?x)即ln(1?x)??f(x)在?0,???内是增函数，?f(x)?f(0)，
x?x又g?(x)?，?0，
1?x1?x当x?0时，即ln(1?x)?x?0，g?(x)?0，?g(x)在?0,???内是减函数，?g(x)?g(0)，
x?ln(1?x)?x成立. 1?xx点评：由题意构造出两个函数f(x)?ln(x?1)?，g(x)?ln(x?1)?x.利用导数求
1?x因此，当x?0时，不等式
函数的单调区间，从而导出f(x)?f(0)及g(x)?g(0)是解决本题的关键.
[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
解 ： 设BD之间的距离为xkm,则|AD|=x2?202,|CD|=100?x.如果公路运费为a元/km,那么铁路运费为
3a元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费y5x2?400,(0?x?100).对该式求导,得
为:y?3a(100?x)+a5ax?3aa(5x?3x2?400)22+=,令y??0,即得25x=9(x?400),解之得 y?=5x2?4005x2?400x1=15,x2=-15(不符合实际意义,舍去).且x1=15是函数y在定义域内的唯一驻点,所
以x1=15是函数y的极小值点,而且也是函数y的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.
点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
[例5]（2006年四川）函数f(x)?3x?3ax?1,g(x)?f(x)?ax?5，其中f(x)是f(x)的导函数.（1）对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，求实数x的取值范围； （2）设a＝－m，当实数m在什么范围内变化时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝3只有一个公共点.
解：（1）由题意g?x??3x?ax?3a?5
223'' 令??x???3?x?a?3x?5，?1?a?1
2对?1?a?1，恒有g?x??0，即??a??0
??3x2?x?2?0???1??0∴? 即?2 ??3x?x?8?0????1??0解得?故x???（2）f'2?x?1 3?2?,1?时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g?x??0. 3???x??3x2?3m2
3①当m?0时，f?x??x?1的图象与直线y?3只有一个公共点 ②当m?0时，列表： x ???,m? ? ?m 0 极大 2??m,m? ? m 0 极小 ?m,??? ? f'?x? f?x? ∴f?x?极小?f?x???2mm?1??1
又∵f?x?的值域是R，且在m,??上单调递增
∴当x?m时函数y?f?x?的图象与直线y?3只有一个公共点. 当x?m时，恒有f?x??f?m 由题意得f?m?3 即2m2m?1?2m?1?3
3????????0,2?
综上，m的取值范围是??2,2?.
解得m??32,0333? [例6]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（?BAO??,BA?r,照度与sin?成正比，与r2成反比）
分析：如图，由光学知识，照度y与sin?成正比，与r成反比， 即y?C2sin?（C是与灯光强度有关的常数）要想点A处有最 2r大的照度，只需求y的极值就可以了. 解：设O到B的距离为x，则sin??x，r?x2?a2 rsin?x于是y?C2?C3?Crrx3(x2?a2)2(0?x??)，y??Ca2?2x2(x2?5a2)2?0.
当y??0时，即方程a?2x?0的根为x1??22a2（舍）与x2?a2，在我们讨论的半
闭区间?0,???内，所以函数y?f(x)在点
a2取极大值，也是最大值。即当电灯与O点距
离为
a2时，点A的照度y为最大. （0，a2） (a2,??)
高中必修1-5错误解题分析系列-《10.2导数的应用》
