360×=72°
=700（人），
（3）根据题意得：2000×
答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人． 考点：（1）条形统计图；（2）用样本估计总体；（3）扇形统计图
23．（1）详见解析；（2）存在，23+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【解析】 试题分析：
（1）由旋转的性质结合△ABC是等边三角形可得∠DCB=60°，CD=CE，从而可得△CDE是等边三角形；
（2）由（1）可知△CDE是等边三角形，由此可得DE=CD，因此当CD⊥AB时，CD最短，则DE最短，结合△ABC是等边三角形，AC=4即可求得此时DE=CD=23； （3）由题意需分0≤t＜6，6＜t＜10和t＞10三种情况讨论，①当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，由此可知：此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°；②当6＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，由此可知：此时△DBE不可能是直角三角形；③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，结合∠CDE=60°可得+∠BDC>60°∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°，由此可得∠BED<60°，由此可知此时若△BDE是直角三角形，则只能是∠BDE=90°；这样结合已知条件即可分情况求出对应的t的值了. 试题解析：
（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE， ∴∠DCE=60°，DC=EC， ∴△CDE是等边三角形； （2）存在，当6＜t＜10时， 由（1）知，△CDE是等边三角形， ∴DE=CD，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最小， 此时∠ADC=90°，又∵∠ACD=60°， ∴∠ACD=30°， ∴ AD=∴ CD=1AC=2， 2AC2?AD2?42?22?23，
∴ DE=23（cm）；
（3）存在，理由如下：
①当0s≤t＜6s时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°， ∴此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°， 由（1）可知，△CDE是等边三角形， ∴∠DEC=60°，
∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°， ∴∠CDA=∠CEB=30°， ∵∠CAB=60°， ∴∠ACD=∠ADC=30°， ∴DA=CA=4，
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2， 1=2（s）； ∴t=2÷
②当6s＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°， ∴此时△DBE不可能是直角三角形；
③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°， 又由（1）知∠CDE=60°，
+∠BDC， ∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°而∠BDC＞0°， ∴∠BDE＞60°， ∴只能∠BDE=90°， 从而∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴OD=14cm， 1=14（s）； ∴t=14÷
综上所述：当t=2s或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
点睛：（1）解第2小题的关键是：抓住点D在运动过程中，△DBE是等边三角形这一点得到DE=CD，从而可知当CD⊥AB时，CD最短，则DE最短，由此即可由已知条件解得DE的最小值；（2）解第3小题的关键是：根据点D的不同位置分为三段时间，结合已知条件首先分析出在每个时间段内△BDE中哪个角能够是直角，然后再结合已知条件进行解答即可求得对应的t的值了. 24．（1）?3a2?5ab?3b2；（2）【解析】 【分析】
m． m?2?1?根据多项式乘多项式、完全平方公式展开，然后再合并同类项即可； ?2?括号内先通分进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算即可.
【详解】
?1??a?b??a?2b??(2a?b)2
=a2?2ab?ab?2b2?4a2?4ab?b2
??3a2?5ab?3b2；
1?m2?4m?4?(2)?1? ??2m?m?m?1?m?2m?m?1??=
m?1(m?2)2m． m?2【点睛】 ?本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 25．（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】
（1）根据两锐角互余的关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS即可证明△ADC≌△BEC；（2）由△ADC≌△BEC可得∠ADC＝∠E＝90°，根据平行线判定定理即可证明AD//EC. 【详解】
（1）∵EC⊥DM， ∴∠ECD＝90°， ∴∠ACB＝∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CD＝CE，CA＝CB， ∴△ADC≌△BEC（SAS）． （2）由（1）得△ADC≌△BEC， ∵EC⊥BE，
∴∠ADC＝∠E＝90°， ∴AD⊥DM， ∵EC⊥DM， ∴AD∥EC． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
2024-2024数学中考模拟试卷(带答案)
