学 海 无 涯
2024-2024年高考数学第二轮复习 统计与概率教学案
考纲指要：
“统计”是在初中“统计初步”基础上的深化和扩展，本讲主要会用样本的频率分布估计总体的分布，并会用样本的特征来估计总体的分布。热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。统计案例主要包括回归分析的基本思想及其初步应用和独立性检验的基本思想和初步应用。
对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。
考点扫描：
1．三种常用抽样方法：(1)简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样。 2．用样本的数字特征估计总体的数字特征： （1）众数、中位数；（2）平均数与方差。 3．频率分布直方图、折线图与茎叶图。 4．线性回归：回归直线方程。
5．统计案例：相关系数、卡方检验，
6．随机变量：随机变量的概念，离散性随机变量的分布列，相互独立事件、独立重复试验公式，随机变量的均值和方差，几种特殊的分布列：（1）两点分布；（2）超几何分布；
（3）二项分布；正态分布。
7随机事件的概念、概率；事件间的关系：（1）互斥事件；（2）对立事件；（3）包含； 事件间的运算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（积事件）
8古典概型：古典概型的两大特点；古典概型的概率计算公式。
9几何概型：几何概型的概念；几何概型的概率公式；几种常见的几何概型。
考题先知：
例1．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为：（其中x是某位学生的考试分数，是该次考试的平均分，s是该次
考试的标准差，Z称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此， 又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数. 例如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是：T=40Z+60. 已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为 . 分析：正确理解题意，计算所求分数。 解：T?40?85?70?60?84。 25点评：本题如改编为：已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，而该考生的T分数为84，求T分数的线性变换公式。
例2．随机抛掷一个骰子，求所得点数的数学期望。
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解：抛骰子所得点数的概率分布为
1
P ∴E??1?2 3 4 5 6 1111?2????6??(1?2???6)??3.5 6666变式1 设n把外形完全相同的钥匙，其中只有1把能打开大门，用它们去试开门上的
锁，若抽取钥匙是相对独立且等可能，每把钥匙开后都不放回，试求开锁次数的数学期望与方差。
分析： 求时，由题意知前次没有打开，恰好第次打开，取发现规律后，再推广到一般。的可能取值为
P(??1)?1n111P(??2)?(1?)??nn?1n1111 P(??3)?(1?)?(1?)??nn?1n?2n??11111P(??k)?(1?)?(1?)???(1?)??nn?1n?k?2n?k?1n∴的分布列为
∴E??1? P 1 2 … … k … … n 1111n?1 ?2????n??(1?2???n)??nnnn2由公式可算得方差
变式2 有一幢楼房共19层，现若选择其中某一层作为会议室，开会时每层去1 人，则会议室设在第几层时，可使每人所走过的路程最短（每层楼高度相同）？
分析： 大部分的读者拿到该题首先想到利用等差数列的前项和公式建立路程与之间的关系，然后求最值，这是一种常规的思路。如果我们换一个角度思考：会议室设在哪一层是随机的，而设在任一层楼的概率都为，这样，与上面两个问题完全相同，所以我们“希望”会议室所在的楼层即为随机变量的数学期望。由题意得会议室所在的楼层的分布列如下：
1 2 … 19
…
P
∴E??1?1111?2????19??(1?2???19)??10 19191919于是，会议室设在第10层为所求。
为什么就是我们所求解问题的最小值呢？请看命题：
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对于任何实数c，若S?21[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2], n1（是样本方差，为样本平均数，即） Sc2?[(x1?c)2?(x2?c)2???(xn?c)2],则。
n证明：
1Sc2?[(x1?c)2?(x2?c)2???(xn?c)2]n1?[(x1?x?x?c)2?(x2?x?x?c)2???(xn?x?x?c)2]n1?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2?2?(x1?x)(x?c)?2(x2?x)(x?c)? n?2(xn?x)(x?c)?n(x?c)2]2(x?c)[x1?x2???xn?nx]?(x?c)2n?S2?(x?c)2?S2?S2?∴当时取得最小值。
而数学期望就是概率意义上的平均数，所以，利用离散随机变量的分布列的数学期望可解决上述问题的最值问题。
若把19改为，则可进一步引申出更为一般的结论：当为奇数时，会议室应设在层；当为偶数时，会议可设在或层中的任何一层均满足题设要求。
变式3 数轴上有个定点，其中对应的坐标分别为为数轴上动点，坐标为，求函数
f(x)?|x?1|?|x?2|???|x?n|的最小值。
分析： 该题的常用解决法是利用数形结合分类讨论。但我们也这样思考：动点P在x轴上运动时，落在哪个位置是随机的，尽管问题是个连续型随机变量，但所求函数的最值仍可用上述方法求得。
P点停在处，的概率分布为
1 2 … n
…
P
∴E??1?1111n?1 ?2????n??(1?2???n)??nnnn2∴当为奇数，在点时，的值最小；当为偶数，中任一点时，的值最小。
复习智略：
例3．甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子，乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜．这个游戏规则公平吗？请说明理由。
解析: 由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有＝36(种)不同情形，每
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