第三节 函数的奇偶性与周期性
课时作业 A组——基础对点练
1．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x C．y＝cos x
B．y＝|sin x| D．y＝e－e
x－x解析：因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝x为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝e－e，f(－x)＝e－e＝－(e－e)＝－f(x)，所以函数y＝e－e为奇函数，故选D. 答案：D
2．下列函数中为偶函数的是( ) A．y＝xsin x C．y＝|ln x|
2
2
－xx－x－xxx－xxB．y＝xcos x D．y＝2
2
－x2
解析：A选项，记f(x)＝xsin x，定义域为R，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝－
x2sin x＝－f(x)，故f(x)为奇函数；B选项，记f(x)＝x2cos x，定义域为R，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，故f(x)为偶函数；C选项，函数y＝|ln x|的定义域为(0，
＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；D选项，记f(x)＝2，定义域为R，f(－x)＝2
－(－x)
－x＝2＝x1
fx，故f(x)为非奇非偶函数，选B.
答案：B
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝1＋x 1xC．y＝2＋x
2
2
1
B．y＝x＋
xD．y＝x＋e
x解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数． 答案：D
4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A．y＝ln x C．y＝sin x
B．y＝x＋1 D．y＝cos x
2
解析：A项中的函数是非奇非偶函数；B项中的函数是偶函数但不存在零点；C项中的函数是奇函数；D项中的函数既是偶函数又存在零点．
1
答案：D
1＋x5．函数y＝log2的图象( )
1－xA．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
1＋x解析：由＞0得－1＜x＜1，即函数定义域为(－1,1)，
1－x1－x1＋x又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，
1＋x1－x1＋x∴函数y＝log2为奇函数，故选A.
1－x答案：A
6．设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( ) A．f(x)是奇函数 C．f(x)的值域为R
B．f(x)在R上单调递增 D．f(x)是周期函数
解析：因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故选D. 答案：D
7．定义运算ab＝a－b，ab＝A．奇函数 C．常函数
解析：由定义得f(x)＝∵4－x≥0，且
2
2
2
2
a－b2
，则f(x)＝
2xx2－2
为( )
B．偶函数 D．非奇非偶函数
4－x22
x－2
2
－2
.
x－2－2≠0，即x∈[－2,0)∪(0,2]．
2
4－x4－x∴f(x)＝＝－(x∈[－2,0)∪(0,2])，
2－x－2x∴f(－x)＝
4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数． 答案：A
8．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( ) A．－x－ln(1－x)
3
3
B．x＋ln(1－x)
2
3
C．x－ln(1－x)
解析：当x＜0时，－x＞0，
3
D．－x＋ln(1－x)
3
f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．
答案：C
9．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( ) A．奇函数 C．增函数
B．偶函数 D．周期函数
解析：函数f(x)＝x－[x]在R上的图象如图：
选D. 答案：D
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2，则f(1)＋f(4)等于( ) 3A. 2C．－1
3B．－
2D．1
x解析：由f(x＋4)＝f(x)知f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是定义在R上的偶函数，1－1
故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，又－1∈[－2,0]，所以f(－1)＝－2＝－，所以f(1)
213
＝－，f(1)＋f(4)＝－，选B.
22答案：B 11．若f(x)＝
a2x＋1－2
2＋1
x是R上的奇函数，则实数a的值为__________．
解析：∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0， 2a－2∴＝0，解得a＝1.
2答案：1
12．(2024·安徽十校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2，则
xf(log4 9)＝__________.
解析：因为log49＝log23＞0，又f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2，所
x 3
以f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝1
答案：－
3
1＝－.
3
13．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是__________．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
B组——能力提升练
1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x，则f(7)＝( ) A．2 C．－98
B．－2 D．98
2
解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：B
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(＞f(－2)，则a的取值范围是( ) A．(－∞，3) C．(3，＋∞)
B．(0，3) D．(1，3)
)
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－2)＝f(2)， ∴f(2log3a)＞f(2)．∵
＞0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0＜
＜
1
2?log3a＜?0＜a＜3，故选B.
2答案：B
3．奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( ) A．－2 C．0
B．－1 D．1
解析：由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－
f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8
为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以
4
f(8)＝f(0)＝0，∴f(8)＋f(9)＝1.
答案：D
3?1?4．已知函数f(x)＝asin x＋bx＋4，若f(lg 3)＝3，则f?lg?＝( )
?3?1A. 3C．5
1B．－
3D．8
33?1?解析：由f(lg 3)＝asin(lg 3)＋blg 3＋4＝3得asin(lg 3)＋blg 3＝－1，而f?lg?
?3?33
＝f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－blg 3＋4＝－[asin(lg 3)＋blg 3]＋4＝1＋4＝5.故选C. 答案：C
5．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( ) A．f(x)－1为奇函数 C．f(x)＋1为奇函数
B．f(x)－1为偶函数 D．f(x)＋1为偶函数
解析：∵对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，∴令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1.∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，∴f(x)＋1为奇函数．故选C. 答案：C
?1?6．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f??的x的取值范围
?3?
是( )
?12?A.?，? ?33??12?C.?，? ?23?
?1??1?有f(2x－1)＜f???f(|2x－1|)＜f??， ?3??3?
1
进而转化为不等式|2x－1|＜，
3
?12?B．?，? ?33??12?D．?，? ?23?
解析：法一：偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
?12?解这个不等式即得x的取值范围是?，?.故选A. ?33?
法二：设2x－1＝t，若f(t)在[0，＋∞)上单调递增，
5
（人教版）2024届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性课时作业
