5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。
RRC1CC1题图5.1
C2R1
R2C2解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 H(j?)?1/j?C1?
R?1/j?C1?j?RC第二个图中系统地传输函数 H(j?)?1/j?C21?j?RC1?
R/j?C1?1/j?C21?j?R?C1?C2?R?1/j?C1第三个图中系统地传输函数
R2/j?C2R2?1/j?C2R2?j?R1R2C1H(j?)??
R1/j?C1R2/j?C2R?R?j?RRC?C??121212?R1?1/j?C1R2?1/j?C25.2
若平稳随机信号X(t)的自相关函数RX(?)?A?Be?wt2?|?|，其中，A和B都是正
常数。又若某系统冲击响应为h(t)?u(t)te解： 因为E2。当X(t)输入时，求该系统输出的均值。
?X??RX????A2
所以E?X???A??A。
????A?wt?? E?Yt?Eh?Xt??d??EXth?d???Atedt??????2??????????????0?????????w5.3
5.4 若输入信号X(t)?X0?cos(?0t??)作用于正文图5.2所示RC电路，其中X0为[0,1]上均匀分布的随机变量，?为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且X0与?彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解：首先我们求系统的频率响应H(j?)。根据电路分析、信号与系统的知识，
H(j?)?1/j?C1?R?1/j?C1?j?RC?h(t)?1?t/RCeu(t) RC然后，计算X(t)的均值与自相关函数，
mX?E?X(t)??1/2
RX(t,t??)?E??X0?cos??0t????X0?cos???0?t???????????1/3?1/2cos????
0可见X(t)是广义平稳的。考虑系统稳态时的解，可利用推论得出
?12?2??SY(?)?SX(?)H(j?)?????????(???0)??(???0)???22?3?1?(?RC)
?2???(???0)??(???0)??????222?2(1??0RC)3于是，
RY(?)?12(1??0RC)222cos?0??1/3
5.5
5.6 设某积分电路输入输出之间满足以下关系
Y(t)??tt?TX(?)d?
式中，T为积分时间。并设输入输出都是平稳过程。求证输出功率谱密度为
2??T?sin??
?2?2?（提示：Y(t)?X(t)?h(t)，而h(t)?u(t)?u(t?T)，是矩形方波。）
SY(?)?4SX(?)解：因为 Y(t)?而 H?j????tt?TX(?)d?所以 Y(t)?X(t)?h(t) h(t)?u(t)?u(t?T)
????h?t?e?j?tdt?2sin??T/2??e?j?/2
所以 H?j??2??T4sin2??2?2????
2所以SY(?)?SX(?)H?j???4SX(?)?2??Tsin2??2?? ?
5.7 5.8 5.9
5.10 若线性时不变系统的输入信号X(t)是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数为
RX(?)??(?)，输出信号为Y(t)。试问系统h(t)要具备什么条件，才能使随机变量X(t1)与Y(t1)互相独立。
解： 由于输入信号X(t)是均值为零的平稳高斯随机信号，所以通过线性时不变系统后Y(t)仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且X(t)和Y(t)是高斯联合平稳过程。如果X?t1?与
Y?t1?相互独立，则E[X?t1?Y?t1?]?RXY(0)?0。而
RXY(?)?RX(?)?h(??)?h????
因此，h(t)要满足h?0??0。
5.11
系统的均方值与功率谱密度。 解：由题知：H?j????ath(t)?eu(t)的系统上，求若功率谱为5W/Hz的平稳白噪声作用到冲击响应为
215，所以SY????5H?j???2 2j??a??a而输出过程的自相关函数RY????2E?Y??t????RY?0??12?????SY???ej??d??5?a?。于是，e2a5 2a5.12 5.13
功率谱为N02的白噪声作用到|H(0)|?2的低通网络上，网络的等效噪声带宽
为2MHz。若噪声输出平均功率是0.1瓦，求N0的值。 解： 由N0BNH?0??0.1得，N0?5.14 5.15 5.16
20.1BNH?0?2?0.1?1.25?10?8（瓦/Hz） 62?10?4
已知平稳随机信号的相关函数为
1?2?(1??|?|),????X?（1） RX(?)??
1?0,?????求它们的矩形等效带宽。
（2）RX(?)??Xe2??|?|
解：（1）因为RX(?)是三角函数，所以，由几何图形易知，Beq?（2）SX?????2
?0???RX???e?j??2?X2?d??2 2???1所以Beq?2?
??SX???RX?0???2X?d????
SX??0?2SX?0?4?2X4
随机信号分析第3版第五章习题及答案.doc
