1．已知f(x)＝x，则f′(3)＝( ) A．0 B．2x C．6 D．9 解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
1
2．已知函数f(x)＝，则f′(－3)＝( )
2
xA．4 1C．－
4
1B. 9
1D．－
9
11
解析：选D.∵f′(x)＝－2，∴f′(－3)＝－.
x9
x3．若y＝10，则y′|x＝1＝________.
x解析：∵y′＝10ln10，∴y′|x＝1＝10ln10. 答案：10ln10
4．求下列函数的导数： (1)y＝3x＋xcosx；(2)y＝
2
x1＋x解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.
1＋x－x1
(2)y′＝2＝2.
1＋x1＋x1xx(3)y′＝(lgx)′－(e)′＝－e.
xln10一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
1?1?A.?x＋?′＝1＋2
；(3)y＝lgx－e.
x
?x?
xx(xcosx)′＝2xcosx－xsinx.
32
2．曲线y＝x－3x＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
2
解析：选B.由y′＝3x－6x在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
x2
3．函数y＝的导数是( )
x＋3
x2＋6xx2＋6xA. B.
x＋32x＋3
2
－2x3x＋6xC. D.
x＋32x＋322
2
C．(3)′＝3·log3e
1?1?xx解析：选B.?x＋?′＝1－2，(3)′＝3ln3，
xx1 xln2
2
D．(xcosx)′＝－2xsinx B．(log2x)′＝
?x?
解析：选A.y′＝(
x2
x＋3
2
x′x＋3－x2·x＋3′＝
x＋322
2xx＋3－xx2＋6x＝＝. x＋32x＋32
3
4．函数y＝xcosx的导数是( )
2323
A．3xcosx＋xsinx B．3xcosx－xsinx
23
C．3xcosx D．－xsinx
3
解析：选B.y′＝(xcosx)′
23
＝3x·cosx＋x(－sinx)
23
＝3xcosx－xsinx，故选B.
42
5．若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
3
解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.
12
6．若函数f(x)＝f′(－1)x－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
2
A．0 B．－1 C．1 D．2
12
解析：选B.∵f(x)＝f′(－1)x－2x＋3，
2
∴f′(x)＝f′(－1)x－2.
∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2. ∴f′(－1)＝－1. 二、填空题
2x7．令f(x)＝x·e，则f′(x)等于________．
2x2xx2xx2
解析：f′(x)＝(x)′·e＋x·(e)′＝2x·e＋x·e＝e(2x＋x)．
x2
答案：e(2x＋x)
1
8．一物体的运动方程是s(t)＝，当t＝3时的瞬时速度为________．
)′
t111
解析：∵s′(t)＝－2，∴s′(3)＝－2＝－.
t39
1
答案：－
9
π12
9．设f(x)＝ax－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
32
解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx， f′(0)＝－b＝1得b＝－1，
π211
f′()＝πa＋＝，得a＝0.
3322答案：0 －1 三、解答题
10．求下列函数的导数： (1)f(x)＝ln(8x)；
1
(2)f(x)＝(x＋1)(－1)．
x解：(1)因为f(x)＝ln(8x)＝ln8＋lnx，
1
所以f′(x)＝(ln8)′＋(lnx)′＝.
x(2)因为f(x)＝(x＋1)(＝1－x＋
1
1
x－1) ＝1－x，
x－1＝－x＋－1·x－
1
xx所以f′(x)＝11＝－(1＋)．
x2xx1
1－x·
2x
1x11．设f(x)＝a·e＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
e
x解：由f(x)＝a·e＋blnx， ∴f′(x)＝a·e＋，
xbxf′1＝ae＋b＝e??
根据题意应有?a1
f′－1＝－b＝?ee?
解得?
?a＝1???b＝0
，
，所以a，b的值分别是1,0.
2
12．已知f′(x)是一次函数，xf′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
2
设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.
2
把f(x)，f′(x)代入方程xf′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得： x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
2
即(a－b)x＋(b－2c)x＋c－1＝0 要使方程对任意x恒成立，
则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0， 解得a＝2，b＝2，c＝1，
2
所以f(x)＝2x＋2x＋1.
【优化方案】2024高中数学 第3章3.2知能优化训练 新人教A版选修1-1
