高等数学 第一章 知识归纳 - 图文

高等数学·上·同济第七版

第一章 函数与极限

一 本章要点

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二 映射与函数

2.1 映射

2.1.1 相关概念

【映射】① X、Y是两个非空集合，② 存在一个法则f，使得对X中的每个元素x，按照法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则：称f为从X到Y的映射。记作：f：X→Y。

【像】y称为元素x在映射f下的像，记作f(x)，即y=f(x)。 【原像】元素x称为元素y在映射f下的原像。

【定义域】集合X称为映射f的定义域，记作 ???? ，即????=?? 。

【值域】X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作????或f(X)，即 ????=f(X)=｛f(x)|x∈X｝。

【满射】① f是从集合X到集合Y的映射，② ????=Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射。 【单射】对X中任意两个不同的元素，他们的像不同，则称f为X到Y的单射。 【双射】若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射（或双射）。 2.1.2 逆映射与复合映射

【逆映射】① f是X到Y的映射，② 对于每一个y∈????，有唯一的x∈X，适合f(x)=y，则定义g：????→X，对于每个y∈????，规定g(y)=x，x满足f（x）=y，这个映射g称为f的逆映射。

【复合映射】① 有两个映射：g：X→ ??1 ，f：??2→Z，其中??1???2，则可以定义一个从X到Z的对应法则，它将每个x∈X映射成f[g（x）]∈Z，这个映射称为映射g和映射f构成的复合映射，记作f○g，即

f○g：X→Z，（fog）（x）=f[g（x）]，x∈X

2.1.3 注意

① 构成一个映射必须具备三个要素：定义域、值域、对应法则。

② 对于每个x∈X，元素x的像y是唯一的；而对于每个y∈????，元素y的原像不一定是唯一的。 ③ 只有单射才存在逆映射。

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④ 构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f的定义域内。 ⑤ 映射的复合是有顺序的，f○g有意义并不表示g○f也有意义。

2.2 函数

2.2.1 框架

2.2.2 反双曲函数

① 双曲正弦： sh x=2（ex-e-x），定义域（-∞，+∞），奇函数，单调递增，图形通过原点且关于原点对称

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② 双曲余弦：ch x=（ex+e-x），定义域（-∞，+∞），偶函数，（-∞，0）内单调递减，（-∞，+∞）内单调递增，图形通过（0，1）且关于y轴对称

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③ 双曲正切：thx=shx/chx，定义域（-∞，+∞），奇函数，单调递增，图形通过原点且关于原点对称

④ 推广公式：sh(x+y)=shxchy+chxshy ;sh(x-y)=shxchy-chxshy ; ch(x+y)=chxchy+shxshy ; ch(x-y)=chxchx-shxshy

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