《现代控制理论》MOOC课程
3.5 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
3.5 状态空间表达式的能控性标准型与能观标准型
一.能控性与能观性的不变性
定理：在任意非奇异线性变换下，线性定常系统
??=A??+????
的能控性和能观性不变。
??=????
?=????，则系统状态方程为：证明:令P为n×n维非奇异线性矩阵，对系统作如下变换??
???????=???+?????
???=??????
?=C??????=PA?????,???=PB, ??其中，??
???????????????????=??????????????????????=P????????????????由：??
?C?????C??????=???????????????=?????
???
??????????????????????????????????
由于非奇异变换不改变矩阵的秩
???????????????????=r??????????????????????故rank??
即非奇异线性变换不改变系统的能控能观性。得证。
?C??
??????????rank=????????
??
????????????????????
3.5 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
二. 能控标准I型变换
??=A??+????
结论：对于完全能控的单输入单输出线性定常系统??存在线性非奇异变换??=???????y=????
其中：
???????
??????=?????????????=??????????????????????
????????
????=?????????+????????????????+?+????????+??????????=?????????+????????????????+?+????????+??????
?
??
???????????
?????????
?
??
???????=????+?????????????=??
????(??=??,??,?，n-1)为系统特征多项式
???????=????+??????????????+?+??????+????=??的系数。
3.5 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
二. 能控标准I型变换
????????=????+???能够使状态空间表达式化成如下形式的能控标准型（I型）：其中：
0
1?00???=?????????A??????
=0?0?…????=???????????=0????0???1
?
1
???????1
1
????=C(?????????+????????????????+?+????????+??????)????=??(?????????+????????????????+?+????????+??????)
?
???????=??(????+?????????)???????=C??
???=??????
???
=????????=????????
?
???????
3.5 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
二. 能控标准I型变换
?证明：（1）推导??
?=?????????A??????可得????????由???=A??????=A?????????????=A????A?????A????
A????=A(?????????+????????????????+?+????????+??????)=(??????+????????????????+?+??????????+????????+??????)???????
=???????=?????????
?
?????????=A(????+?????????)=(??????+???????????+?????????)??????????=?????????????????????????=A??=A??+???????????????????=???????????????????
?=?????????????????????????????????????????????????????????????由此：????????
A????=A(?????????+????????????????+?+????????+??????)=(?????????+????????????????+?+????????+??????)???????=?????????????
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