点到直线的距离公式的七种推导方法
已知点 P(x0,y0)直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)求点P到直线 l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）
一、 定义法
证：根据定义，点P到直线 l的距离是点P到直线 l的垂线段的长，如图1，
设点P到直线l的垂线为 l'，垂足为Q，由 l'?l可知 l'的斜率为
?l'的方程：y?y0?B(x?x0)与l联立方程组 AB2x0?ABy0?ACA2y0?ABx0?BC,) 解得交点Q(A2?B2A2?B22B AyPlQl'x图1B2x0?ABy0?ACA2y0?ABx0?BC2|PQ|?(?x0)?(?y0)22222A?BA?B|Ax0?By0?C|?A2x0?ABy0?AC2?B2y0?ABx0?BC2 ?PQ|??()?()222222A?BA?BA?B22222A(Ax0?By0?C)B(Ax0?By0?C)(Ax0?By0?C)???(A2?B2)2(A2?B2)2A2?B2二、 函数法
证：点P到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点 Q(x,y)用两点的距离公式有，为了利用条件Ax?By?C?0上式变形一下，配凑系数处理得：
(A2?B2)[(x?x0)2?(y?y0)2]?A2(x?x0)2?B2(y?y0)2?A2(y?y0)2?B2(x?x0)2?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?[A(y?y0)?B(x?x0)]2?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?(Ax0?By0?C)2(Ax?By?C?0)(x?x0)2?(y?y0)2?|Ax0?By0?C|A2?B2|Ax0?By0?C|A?B22
当且仅当A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是d?
三、不等式法
证：点P到直线 l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线l的距离。由柯西不等式：
(A2?B2)[(x?x0)2?(y?y0)2]?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?(Ax0?By0?C)2 Ax?By?C?0,?(x?x0)2?(y?y0)2?|Ax0?By0?C|A?B22 当且仅当A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是d?四、转化法
证：设直线 l的倾斜角为 ?过点P作PM∥ y轴交l于M
|Ax0?By0?C|A?BPM22
y(x1,y1)显然
x1?x0所以
y1??A0?xb ClQlyQPMx图2图3x?|PM?||y0?AxAx?B?y0?C0?||0BBC|易得∠MPQ＝ ?（图2）或∠MPQ＝1800??（图3）
A21在两种情况下都有tan?MPQ?tan??2所以 cos?MPQ??2B1?tan?Ax?By0?C|Ax0?By0?C||B| |PQ|?|PM|cos?MPQ?|0|?2222BA?BA?B22|B|A?B22
五、三角形法
证：P作PM∥ y轴交l于M，过点P作PN∥ 由解法三知|PM|?|x轴交l于N（图4）
yPMNAx0?By0?CAx?By0?C|；同理得 |PN|?|0|
BAQ在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高
lx图4?|PQ|?|PM|?|PN||PM|2?|PN|2?|Ax0?By0?C|A2?B2
六、参数方程法
?x?x0?tcos?交直线l于点Q。(如图1)
?y?y0?tsin?由直线参数方程的几何意义知|t|?|PQ|，将 l'代入 l得Ax0?Atcos??By0?Btsin??C?0
证：过点P(x0,y0)作直线 l':?Ax0?By0?C|...........(1)
?Acos??Bsin?当 l'?l时，我们讨论 ?与 l的倾斜角?的关系：
A0当 ?为锐角时 （tan????0,不妨令A>0,B<0）有??90??（图2）
Btan?BAcos???sin???????1?tan2?A2?B2A2?B2
1|B|?Bsin??cos?????2221?tan?A?BA2?B2A0当 ?为钝角时 （tan????0,不妨令A>0,B>0）有????90（图3）
B整理后得 |t|?|得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
|t|?||Ax0?By0?C||Ax0?By0?C| ?22A2B2A?B?|A2?B2A2?B2yPQ七、向量法
?C?0(A?0,B?0的)一个法向量证：如图五，设直线l:Ax?Byln x图五 Bn?(1,)，Q直线上任意一点，则PQ?(x1?x0,y1?y0)。从而点P到直
A线的距离为：
B(y1?y0)||A(x?x)?B(y?y)||n?PQ|1010Ad???|n|B2A2?B21?2A|Ax1?By1?Ax0?By0||Ax0?By0?C|P点在直线l上,?Ax1?By1?C?0,从而d??22A?BA2?B2|x1?x0?附：
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQB知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直
A方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d yRQoSlxdP(x0,y0)⊥l可线PQ的两点距离
王新敞方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都
相交，过
点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，
?By0?C?Ax0?C?A1x1?By0?C?0,y2?由?得x1?. ABAx?By?C?02?0所以，｜PＲ｜＝｜x0?x1｜＝
Ax0?By0?C
A｜PS｜＝｜y0?y2｜＝
Ax0?By0?C
B?A2?B2×｜Ax0?By0?C｜由三角形面积公式可知：d·｜
AB｜ＲS｜＝PR?PS22ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜ 王新敞所以d?Ax0?By0?CA?B22
王新敞可证明，当A=0时仍适用
点到直线的距离公式的七种推导方法.
