2024年北师大版八年级下数学第6章《平行四边形 》练习题及答案 (24)

2024年北师大版八年级下数学第6章《平行四边形》练习题

24．如图，四边形ABCD是平行四边形，△ABE是等边三角形，连接DE，CF⊥DE，垂足为F．

（1）如图1，若∠DCF＝∠DAE，求∠ADE的度数；

（2）如图2，点F是DE的中点，GE⊥DE，垂足为E，求证：BG＝GC+GE．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，△ABE是等边三角形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，∠BAE＝60°， ∴∠ADC+∠DCB＝180°， ∵∠DCF＝∠DAE， ∴∠BCF＝60°， ∵CF⊥DE，

∴∠FDC+∠DCF＝90°，

∴∠ADC+∠DCB＝∠ADE+（∠FDC+∠DCF）+∠BCF＝∠ADE+90°+60°＝180°， ∴∠ADE＝30°；

（2）证明：连结CE，在线段BC上截取MB使得BM＝CG，连结EM，如图：

∵点F是DE的中点，CF⊥DE， ∴CD＝CE， ∴∠DCF＝∠ECF，

∵△ABE是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝BE＝CD＝CE，AB∥CD，

∴∠EBC＝∠ECB，∠ABC+∠DCB＝180°，

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又∵BM＝CG，BE＝CE， ∴△EBM≌△ECG（SAS）， ∴EM＝EG，

∵CF⊥DE，GE⊥DE， ∴CF∥EG， ∴∠FCB＝∠EGM．

∵∠ABC+∠DCB＝180°，∠EBC＝∠ECB，∠DCF＝∠ECF， ∴60°+2∠ECB+2∠ECF＝180°， ∴∠ECB+∠ECF＝60°＝∠FCB， ∴∠EGM＝60°， 又∵EM＝EG，

∴△EGM为等边三角形， ∴GE＝GM， ∵CG＝BM，

∴BG＝BM+MG＝GC+GE．

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