3.设参数方程
li确定y是工的函数，求空和空。 y = e dx dx
￡ = U
r,
2 3dx e~ - te~ 1 -1
，土，
Jy =(i J 4dx
2(1-。/+/ (IT)： e - te .................
lle(3-2r) (IT)' ..................................... 4. 计算不定积分jarcsin xdx 03/
3 r c
=xarcsinx + —j(1 -^r2) 2 J(l-x2) ..................................... 6 分 =xarcsinx+Vl-x2 + C ....................................... 8 分
5. 设方程+ e = cos(x+y)确定隐函数y = y(x)并满足y(0) = 0,求
矿，=() 解：方程两边对工求导，得
y2y +x?2y/+/
2= -sin(x+y2).(i + 2^/) ..................................... 4 分
y'= rJinS+V) .......................... & 分
2xy + e- +2ysin(x+y~)
又工=0,得.y = 0, .................................... 7分 代入得
)'、=0 .................................. 8 分
解：J arcsin xdx = x arcsin x -f xd arcsin x ................
=x arcsin x -I
dx
32
6. 试确定曲线y = ax +bx + J中的a,b,c,d ,使L5CM
--- ?
得x = -2处曲线有水平切线,
(1,一 10)为拐点，且点(-2,44)在曲线上。
解：y' = 3ax2 +2Zzx+c, ............................... 1 分
y” = 6ox + 2/?, ............................... 2 分
由题意得
12Q-40 + C = 0 v 6Q + 2Z? = 0
八
G + + C + H = —10
............................. 6分
-8a + 4人 一 2c + d = 44
解得 Q = 1, b = —3, c = -24, d = 16 ................................. 8 分
7. 计算定积分J：
解：令 t =』5 -x ,则 dx = -2tdt
r5 1 z r° —2/ /v --- dx= -------- dt ................................. 4 分
1 + V5^x j2 1 + t
「2 (1 +。一1
=2 ------------ J。 1 + r
dt ................................ 5 分
=2^dt-C — dt) ...................................... 6 分
J() Jo l + t = 2(sln|l + \ 7 分 = 2(2-In3) ................................... 8 分
四、解答题(本大题共3小题，第1、2小题4分，第3小题6分，共1. 证明不等式：当x>4时，2、〉工2。
14分)
证明：要证原不等式，只需证xln2>21nx 设 f(x) = xln2-2\\nx (x>4)
2 f \\x) = In 2—— ............................................... 1 分
x
当工〉4时，广⑴>0, f⑴在［4,+s)上单调增加 .................... 2分 所以当x>4 时，/(%) > /(4)
k!Pxln2-21nx>0 ,所以 jdn2>21nx,所以2 > x ............................................. 4 分 2. 设 f(x)和 g(x)在［c展］可导，K f(a) = f(b) = g(a) = g(b),证明：在(c展)内 至
少存在一点c,使得f \\c) = g \\c) o
解：设 F(x) = /(x)-g(x) ..................................... 1 分
则 F(a) = F(b) = 0 , F(x) = /(x)-
所以在(劣。)内至少存在一点。，使得P(c、) = 0, .......................... 3分 即 f\\c) = g\\c) .............................. 4 分
A
23?设0由抛物线\和直线工=口，x = 2及〉=0所围成的平面区域；0是 由抛物线y = 2x2和直线工=。及y = 0所围成的平面区域，其中0vov2。
（2）试求平面区域0与4的面积之和；（2）试求0绕工轴旋转而成的旋转体 的
体积的；（3）试求已绕），轴旋转而成的旋转体的体积、；（4）问当。为何值 时，匕+匕取得最大值？试求此最大值。
解：(1) ￡>! + = ［ 2xdx =—x n=— .................................. 1 分
1; - Jo 3 3
23(2) V} = ydx = 7i［ (2x)tZr = —(32-6Z) ； ................................. 2 分 J a J a 5 (3) V2 =7tcr 2a ^dy = 2/ra
142225
jdy = 2勿。,一)。'=勿\； ... 3 分
(4) V = V,+K = —(32-t/5) + ^4, — = 4W(l-tz) ...................... .................... 4 分
一 5 da
当“=1时，—=0,当0vov 1时，—>0, V单调增； .............. 5分
da
dadV
减；则 当。>1时，—<0 , V单调
da 129
V = Vi+V2=—^ ..................
。=
1时V最大，且最大值为
安徽农业大学期末考试试卷.doc
