2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：
z q1 q2E3 E1 x E2 习题图2-2 P q3 q1?1C, P1(0,0,1) q2?1C, P2(1,0,1) q3?4C, P3(0,1,0)试求位于P(0,?1,0)点的电场强度。
解 令r1,r2,r3分别为三个电电荷的位置P1,P2,P3到P点的距离，则
r1?2，r2?3，r3?2。
利用点电荷的场强公式E?q4??0r2er，其中er为点电荷q指向场点
P的单位矢量。那么，
q1在P点的场强大小为E1?q14??0r12?18??0，方向为
er1??12?ey?ez?。
q2在P点的场强大小为E2?q24??0r22?1，方向为
12??0er2??13?ex?ey?ez?。
q3在P点的场强大小为E3?则P点的合成电场强度为
q34??0r32?14??0，方向为er3??ey
E?E1?E2?E3 ??
2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为2?10?6C，相距为2cm， 如习题图2-4所示。试求：①P点的电位；②将电量为2?10?6C的点电荷由无限远
?1?11?111?1?? e?????e?????x??y??ez???0?1234?82123??82123??处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。
解 根据叠加原理，P点的合成电位为
q ? P 1cm r 1cm 习题图2-4
1cm q ? ??2??6q4??0r?2.5?106?V?
因此，将电量为2?10C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须做的功为W??q?5?J?
2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度
?l??0sin?, 0????，试求圆心处的电场强度。
y
E 习题图2-6
o dl? a x 解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷?ldl在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的Ey分量，即
dE?dEy??ldlsin?
4??0a2考虑到dl?ad?,?l??0sin?，代入上式求得合成电场强度为
E?ey??0?0?sin2?d??0ey 4??0a8?0a2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为
?q, r?a??r2 E?er??qr, r?a??a试求球内外各点的电位。 解 在r?a区域中，电位为
??r???E?dr??E?dr??E?dr?rra?a?q2qa?r2? 2aa??在r?a区域中，??r??
??rE?dr?q r2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为
?r3, r?a?E?er?a5
r?a?2, ?r试求空间的电荷密度。
解 利用高斯定理的微分形式??E??，得知在球坐标系中 ?01d2rEr 2rdr??r???0??E??0那么，在r?a区域中电荷密度为
????r???0在r?a区域中电荷密度为
1d5r?5?0r2 2rdr????r???01d5a?0 2rdr??2-17 若在一个电荷密度为?，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强
度。
习题图2-17 a r o d P r? b 解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为a的整个球内充满电荷密度为?的电荷，则球内P点的电场强度为
E1P?43??r? e?r r23?04??0r31式中r是由球心o点指向P点的位置矢量，
再设半径为b的球腔内充满电荷密度为??的电荷，则其在球内P点的电场强度为
E2P??43????r?e??r? r3?04??0r?231式中r?是由腔心o?点指向P点的位置矢量。
那么，合成电场强度E1P?E2P即是原先空腔内任一点的电场强度，即
EP?E1P?E2P???r?r????d 3?03?0式中d是由球心o点指向腔心o?点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。
2-19 已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为?，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。
解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理
2D?ds?q?4?rD?q?D??sqe 2r4?r在0?r?a区域中，电场强度为
E?D?0?q4??0r2er
在a?r?b区域中，电场强度为
E?D?D?qe 2r4??r在r?b区域中，电场强度为
E??0?q4??0r2er
再求介质壳内外表面上的束缚电荷。
由于P?????0?E，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为
?s?n?P??er?P??????0?
外表面上束缚电荷面密度为
q??0?q ???1??22??4?a4??a??s?n?P?er?P?????0?q??0?q ??1??22??4?b4??b?2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场E中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为?，均匀电场E的方向与介质板法线的夹角为?1，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向?2?度?1及介质表面的束缚电荷面密度。
习题图2-20
en1
E ?4时，试求角
?0 ? ?2 ?2 E2 ?0 ? 1 en2
?1 E d
电磁场与电磁波课后习题（杨儒贵编着）（第二版）全套完整版
