课时分层作业(十七)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 C．D＝F
B．D＝E D．E＝F
ED
B [由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－2＝－2，即D＝E.] 2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为2，则a＝( )
A．0或－1 C．7
B．0 D．－1或7
D [将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4， 所以圆的圆心坐标为(1,4)，
|a＋4－1|
所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝2，
2
a＋1整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7.]
3．过三个点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( ) A．26 C．46
B．36 D．56
C [设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D＋3E＋F＋10＝0，??
则?4D＋2E＋F＋20＝0，??D－7E＋F＋50＝0.
D＝－2，??
解得?E＝4，
??F＝－20.
故圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
- 1 -
令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝42－4×?－20?＝46.故选C.]
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π C．8π
B [设P(x，y)，由条件知
B．4π D．9π ?x＋2?2＋y2＝2
?x－1?2＋y2，整理得x2＋y2－4x
＝0，即(x－2)2＋y2＝4，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π.]
5．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为( )
A．2 C．4
B．3 D．5
B [圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为
a2＋1.如图，
由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直． 则a－2－1－1
1
＝－2，即a＝3.故选B.]
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
(2，－3) [由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，
- 1 -
??x0＋0＝2，
－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得?
??y0＋1＝－2，
??x0＝2，
解得?所以点B的坐标为(2，－3)．]
??y0＝－3，
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直45
线2x－y＝0的距离为5，则圆C的一般方程为________．
x2＋y2－4x－5＝0 [设圆C的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，由题意可得解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为为x2＋y2－4x－5＝0.]
8．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．
3－2 [|AB|＝
y
?－2?＋2＝22，又AB方程为＋＝1，即x－y＋2＝0，
－22
2
2
|2a|45＝5，5
22＋?－5?2＝3，所以圆C的方程
x
圆x＋y－2x＝0上的点到直线距离的最小值为d＝32－21
的最小值为2×22×2＝3－2.]
三、解答题
22
|1＋2|
32－2
－1＝2，∴S△ABC2
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
[解] (1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2. 1
由7t2－6t－1＜0得－7＜t＜1. ?1?
故t的取值范围是?－7，1?.
??
- 1 -
(2)由(1)知：圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为(3)r＝
－7t2＋6t＋1＝
?3?1647－7?t－7?＋7≤7. ??
2
1＋6t－7t2.
473?24??13?16
∴r的最大值为7，此时t＝7，圆的标准方程为?x－7?＋?y＋49?＝7.
????22
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)． (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． [解] (1)∵点P(a，a＋1)在圆上， ∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0， ∴a＝4，P(4,5)， ∴|PQ|＝
?4＋2?2＋?5－3?2＝210， kPQ＝
3－5－2－4
＝1
3.
(2)∵圆心C的坐标为(2,7)， ∴|QC|＝
?2＋2?2＋?7－3?2＝42，
圆的半径是22，点Q在圆外， ∴|MQ|max＝42＋22＝62， |MQ|min＝42－22＝22.
11．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是( A．圆心在直线y＝－x上 B．圆心在直线y＝x上 C．圆过原点 D．圆的半径为2|a|
) - 1 -
ACD [圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2.圆心坐标为(－a，a)适合方程y＝－x.
∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0,0)代入圆的方程适合，∴C正确，又r2＝2a2，∴r＝2|a|，∴D正确．故选ACD.]
12．使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为( )
A．－2 C．1
B．0 3D．4
B [该方程若表示圆，则有(－a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜2
0，解得－2＜a＜3，其中B项满足条件，应选B.]
13．(一题两空)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程为55?1?4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋2＝0，即?x＋2?＋(y＋1)2＝－4，不??能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.]
14．M(3,0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
x－y－3＝0 x＋y－3＝0 [由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，kCM＝1－04－3
＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x
2
－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.]
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2024_2024学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程课时分层作业含解析新人教
