综合性大学自主选拔录取联合考试
自然科学基础——理科试卷
数学部分（北约）
一、选择题（每小题8分，合计48分）
?1．圆心角为的扇形的面积为6?，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．
3A． B．7? C． D．
1?2解：由S扇形??R?6?得R?6，由2?r??6得r?1，故它围成的圆锥的表面积为
636???r2?7?．
2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．
A．1070 B．2014 C．2100 D．4200
433C10C6C3?2100． 解：N?23．已知f(a?2bf(a)?2f(b)，f(1)?1，f(4)?7，则f(2014)?（ A ）． )?334?2?1f(4)?2f(1)1?2?4f(1)?2f(4))??3，f(3)?f()??5，猜想3333A．4027 B．4028 C．4029 D．4030 解：f(2)?f(f(n)?2n?1(n?N*)，
假设f(n)?2n?1对n?3k(k?1)都成立，则f(3k?1)?3f(k?1)?2f(1)?2(3k?1)?1，
f(3k?2)?3f(k?2)?2f(2)?2(3k?2)?1，f(3k?3)?3f(k?3)?2f(3)?2(3k?3)?1，
所以f(n)?2n?1(n?N)．
4．若f(x)?lg(x?2ax?a)的值域为R，则a的取值范围是（ D ）．
A．0?a?1 B． C． D．a?0或a?1
2解：由题知，(0,??)?yy?x?2ax?a，故??(?2a)?4a?0，解得：a?0或a?1．
2*??25．已知x?y??1，且x、y均为负实数，则xy?1有（ B ）． xy17171717 B．最小值 C．最大值? D．最小值? 444411解：1?(?x)?(?y)?2xy得0?xy?，而函数f(t)?t?在(0,1)上单调递减，在(1,??)单
4tA．最大值
调递增，故f(xy)?f()，即xy?141171?，当且仅当x?y??时取等号． xy426．已知f(x)?arctan2?2x??． ?C在(?,)上为奇函数，则C?（ B ）
1?4x44A．0 B．?arctan2 C．arctan2 D．不存有
解：由f(x)?0得C?arctan(?2)??arctan2，此时
f(x)?f(?x)?arctan2?2x2?2x4?arctan?2C?arctan(?)?2arctan2?0，故
1?4x1?4x3C??arctan2符合题意．
二、解答题（每题18分，共72分）
7．证明：tan3?R．
证明：设tan3?Q，则tan6?Q?tan12?Q?tan24?Q?tan30?tan(6?24)?Q，
000000000这与tan30?3?Q矛盾． 38．已知实系数二次函数f(x)和g(x)，若方程f(x)?g(x)和3f(x)?g(x)?0都只有一个偶重根，方
程f(x)?0有两个不等的实根，求证：方程g(x)?0没有实根． 解：设f(x)?ax?bx?c，g(x)?dx?ex?f，ad?0，
所以(b?e)?4(a?d)(c?f)，(3b?e)?4(3a?d)(3c?f)，所以3b?e?12ac?4df，又
222222b2?4ac?0，所以?g(x)?e2?4df??4(b2?4ac)?0，所以方程g(x)?0没有实根．
9．已知a1，a2，…，a13成等差数列，M?ai?aj?ak1?i?j?k?13，问：0，
够同时在M中？并证明你的结论．
*解：设该数列的公差为d，∴?p，q，r?N，3a1?pd?0，3a1?(p?q)d???716，是否能237，216q21，∴?，∴q?21，p?11，又p?0?1?2?3，∴p?q?r?35， 3r11716又p?q?r?12?11?10?33，与上式矛盾，故0，，不能够同时在M中．
233a1?(p?q?r)d?10．xi（i?1，2，…，n）为正实数，且
?xi?1ni?1，求证：?(2?xi)?(2?1)n．
i?1n1n2)?解：由AM?GM不等式得：(?ni?1xi?22n?(x?ii?1n2)xi1n)?，(?ni?1xi?21n?(x?ii?1n，2)两式相加得：1?n2?1?(xi?2)i?1n，故
?(i?1n2?xi)?(2?1)n．
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
