课时跟踪检测（十一） 空间几何体的体积
层级一 学业水平达标
4π
1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，则该圆锥的体积为( )
322A.π 8145C.π 81
B.D.8π 8110π 81
解析：选C 设圆锥侧面展开图的弧长为l， 4π
×π×134π
则l＝＝. π3设圆锥的底面半径为r，则
4π2
＝2πr，r＝. 33
545
＝π. 981
V＝·??2·3?3?
π
?2?
44π2
1－＝3·93
2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为( ) A．π∶4 C．1∶1
B．4∶π D．π∶4
2
解析：选A 设正方体棱长为1，则S正方体侧＝S圆柱侧＝4， 2
设圆柱的底面半径为r，则2πr×1＝4，r＝，
π
V正方体＝1，V圆柱＝π??2·1＝. π
∴V正方体∶V圆柱＝π∶4.
3．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为( )
A．4∶9 C．4∶27
B．9∶4 D．27∶4
?2???
4π
4132
解析：选C 设球的半径为r，则圆锥的底面半径是3r，设圆锥的高为h，则πr＝π(3r)h，
3344
解得h＝r，所以圆锥的高与底面半径之比为.
927
4．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
32πA. 3
B．4π
C．2π D.
4π 3
12
解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝4π34π222
1＋1＋?2?＝1，所以V球＝×1＝.故选D.
33
5.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为( )
A．163 C．43
解析：选B 设AB＝a，AA1＝b，
B．83 D.83
3
是面
?2b?22
由?a＋?×2＝a＋b，
4??
13222
得b＝2a，又×a＝6.
22解得a＝8.
可得a＝22，b＝4， ∴V＝
3
×8×4＝83. 4
2
2
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．
132
解析：V＝V大圆锥－V小圆锥＝π(3)(1＋1.5－1)＝π.
323
答案：π
2
7．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．
?ab＝解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则?ac＝?bc＝＝6，故长方体的体积V＝abc＝6.
答案：6
2，3，6，
三式相乘得(abc)
2
8．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的体积是________． 解析：过正方体的对角面作截面如图． 故球的半径r＝2，
482π3
∴其体积V＝π·(2)＝.
33
82π答案：
3
9.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥垂足为H，PH是四棱锥的高．
(1)证明平面PAC⊥平面PBD；
(2)若AB＝6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P-ABCD的体积． 解：(1)证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高，
所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H， 所以AC⊥平面PBD，又AC?平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.
(2)因为底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝6，所以HA＝HB＝3. 因为∠APB＝∠ADB＝60°， 所以PA＝PB＝6，HD＝HC＝1， 可得PH＝3.
1
等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋3.
213＋23
所以四棱锥的体积为V＝×(2＋3)×3＝.
33
10．已知正四棱台两底面面积分别为80 cm和245 cm，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm，求正四棱台的体积．
75
解：如图，SO＝35，A′O′＝25， AO＝，
2由
2
2
BD，
SO′A′O′35×25
＝，得SO′＝＝20. SOAO75
2
∴OO′＝15.
1
∴V正四棱台＝×15×(80＋80×245＋245)＝2 325.
3即正四棱台的体积为2 325 cm.
层级二 应试能力达标
1.已知正三棱锥S-ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱
锥
3
S-BCED与三棱锥S-ABC的体积之比为( )
A．1∶2 C．3∶4
B．2∶3 D．1∶4
解析：选C 两锥体高相等，因此VS-BCED∶VS-ABC＝SBCED∶SABC＝3∶4.
2024-2024学年高中数学课时跟踪检测十一空间几何体的体积苏教版必修2
