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初中数学因式分解(二)
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．
某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x-(5+7y)x-(22y-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
2
2
2
2
2
2
即：-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
2
所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y； (x-3)(2x+1)=2x-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．
双十字相乘法因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，
第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
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2
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例1 分解因式：
(1)x-3xy-10y+x+9y-2； (2)x-y+5x+3y+4；
(3)xy+y+x-y-2；
2．求根法
形如anx+an-1x+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，
如f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=1-3×1+2=0； f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出
它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根． 定理2
2
2
2
5
2
n
n-1
22
2
2
2
的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数． 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
例2 分解因式：x-4x+6x-4．
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3
2
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例3 分解因式：9x-3x+7x-3x-2．
3．待定系数法
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4
3
2
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在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确
定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例4 分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3．
例5 分解因式：x-2x-27x-44x+7． 练习二
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3
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2
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1．用双十字相乘法分解因式：
(1)x-8xy+15y+2x-4y-3； (2)x-xy+2x+y-3； 2
2
2
(3)3x2
-11xy+6y2
-xz-4yz-2z2
．
2．用求根法分解因式：
(1)x3
+x2
-10x-6； (2)x
(3)4x4
+4x3
-9x2
-x+2．
3．用待定系数法分解因式：
(1)2x2
+3xy-9y2
+14x-3y+20； (2)x
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4
+3x3
-3x2
-12x-4； 4
+5x3
+15x-9．
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